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Problème A573 – Solution de Jean Drabbe Notons S(a , n) le n-ième terme de la suite S(a) . Nous dirons qu'un naturel m est a–

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Texte intégral

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Problème A573 – Solution de Jean Drabbe

Notons S(a , n) le n-ième terme de la suite S(a) .

Nous dirons qu'un naturel m est a–représentable lorsque toute puissance à exposant entier > 0 de m est obtenue par différence de deux termes de S(a) .

Les conditions de l'énoncé limitent les naturels m concernés à 4 , 5 , 6 , 7 .

REMARQUES

Pour tout n ≥ 1 , S(a , n + 1) – S(a , n) = (a – 2) ● n + 1 . Pour tout n ≥ 1 , S(a , n + 2) – S(a , n) = 2 ● (a – 2) ● n + a . Ces remarques permettent d'établir les représentations suivantes.

REPRESENTATIONS

4 , 5 , 6 , 7 sont 3–représentables

5 , 7 sont 4–représentables mais 4 , 6 ne le sont pas 4 , 7 sont 5–représentables mais 3 , 6 ne le sont pas 5 est 6–représentable mais 4 , 6 , 7 ne le sont pas 6 est 7–représentable mais 4 , 5 , 7 ne le sont pas 7 est 8–représentable mais 4 , 5 , 6 ne le sont pas

4 , 5 , 6 , 7 ne sont sont pas a–représentables lorsque a > 8 .

CONCLUSION

Les valeurs possibles de a sont : 3 , 4 , 5 .

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