Problème E125 – Solution de Jean Drabbe
PRELIMINAIRES – R et Z désignent respectivement l'ensemble des réels et l'ensemble des entiers naturels.
Nous identifions la fonction { } au morphisme canonique du groupe additif R , + dans son quotient par le sous-groupe Z (chacune des classes latérales est représentée par le réel de l'intervalle [0 , 1) (fermé à droite et ouvert à gauche) qui lui appartient) .
Nous pouvons évidemment supposer, sans perte de généralité que 0 ≤ a , b < 1 .
Il est commode d'utiliser une représentation circulaire de [0 , 1) en l'enroulant sur un cercle de référence de périmètre unité car nous pouvons ainsi définir une distance d (u , v) de deux points u , v de [0 , 1) par
d (u , v) = la longueur exprimée en partie de tour du plus petit arc limité par u et v .
On a donc d (0.2 , 0.9) = d (0.9 , 0.2) = 0.3 .
Q1 – Lorsque a = 0.1 et b = 0 , la suite des 13 premières valeurs prises par
[2 • {a • n + b}] est
0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0
Dans cette suite apparaissent les quadruplets associés à la représentation binaire des nombres suivants :
0 , 1 , 3 , 7 , 8 , 12 , 14 , 15 .
Si a = 0.3 et b = 0 , la suite des 12 premières valeurs prises par [2 • {a • n + b}] est 0 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0
Dans cette suite apparaissent les quadruplets associés à la représentation binaire des nombres suivants :
2 , 4 , 6 , 9 , 11 , 13 .
(d'autres nombres apparaissent également mais, ils ont déjà été cités dans la situation précédente).
Si a = 0.4 et b = 0 , la suite des 6 premières valeurs prises par [2 • {a • n + b}] est 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0
Dans cette suite apparaissent les quadruplets associés à la représentation binaire des nombres
5 et 10 .
Q2 – Nous démontrons par l'absurde que si la chaîne 0 , 0 , 0 , 0 formée de quatre termes consécutifs apparaît dans S , la chaîne 0 , 1 , 1 , 0 ne peut y apparaître.
Il est trivial que la présence de la chaîne 0 , 0 , 0 , 0 de termes consécutifs impose que d (0 , a) < 0.5 / 3 .
Une chaîne de S [2 • {a • k + b}] , [2 • {a • (k + 1) + b}] , • • • , [2 • {a • (k + r) + b}]
est dite 1–maximale lorsque tous ses termes sont égaux à 1 et que S ne contient aucune des chaînes étendues
1 = [2 • {a • (k – 1) + b}] , [2 • {a • k + b}] , [2 • {a • (k + 1) + b}] , • • • , [2 • {a • (k + r) + b}]
pour autant que k > 0 et
[2 • {a • k + b}] , [2 • {a • (k + 1) + b}] , • • • , [2 • {a • (k + r ) + b}] , [2 • {a • (k + r + 1) + b}] = 1
Il résulte de l'inégalité d (0 , a) < 0.5 / 3 que toute chaîne 1-maximale de S est formée de plus de deux termes.
La présence de la chaîne 0 , 1 , 1 , 0 formée de quatre termes consécutifs montre l'existence d'une 1– chaîne maximale de deux termes. Contradiction !
Q3 – La démarche est analogue à celle utilisée pour Q2 . La présence de la chaîne 0 , 0 , 0 formée de trois termes consécutifs impose d (0 , a) < 0.5 / 2
et que toute 1–chaîne maximale de S contienne au moins deux termes. La chaîne 0 , 0 , 0 , 1 , 0 formée de cinq termes consécutifs de S est donc impossible.
Utilisant la même forme de raisonnement, on peut établir que les chaînes 0 , 1 , 0 , 0 , 0 1 , 1 , 1 , 0 , 1 1 , 0 , 1 , 1 , 1 sont également exclues.
