Problème A532 – Solution de Jean Drabbe
La solution du problème soumis à Fibonacci a été publiée dans son
Liber Quadratorum (1225) dont la première traduction française est due à Paul Ver Eecke [4].
Un historique très intéressant de la question est présenté dans [1]
(pages 479 à 452).
Le problème avec un incrément/décrément égal à 2009 admet une solution car
(881)^2 - 41•(120)^2 = (431)^2 (881)^2 + 41•(120)^2 = (1169)^2
d'où
(881/120)^2 - 41 = (431/120)^2 (881/120)^2 + 41 = (1169/120)^2 et finalement,
(7•881/120)^2 - 2009 = (7•431/120)^2 (7•881/120)^2 + 2009 = (7•1169/120)^2
Par contre, le problème n'a pas de solution avec l'incrément/décrément 2010.
Un critère dû à Tunnell décrit dans [2] et démontré dans [3] permet d'établir très facilement cette impossibilité. Le calcul peut être effectué à la main.
BIBLIOGRAPHIE
[1] DICKSON,L., History of the theory of numbers, Vol II,
Chelsea Publishing Company, New York (1996).
[2] FUNAR,L., Les nombres congruents
Disponible gratuitement sur le site
http://images.math.cnrs.fr/Les-nombres-congruents.html
[3] KOBLITZ,N., Introduction to elliptic curves and modular forms, Springer-Verlag (1993).
[4] LEONARD DE PISE, Le livre des nombres carrés, traduit du latin médiéval en français, avec une introduction et des notes par Paul Ver Eecke, Desclée de Brouwer et Cie, Bruges (1952).
