Problème A461 – Solution de Jean Drabbe
QUESTION 1
Il est aisé d'obtenir la solution
a = 1 , b = 11 , c = 29 , d = 31 , e = 41 , f = 49 , n = 5 .
Je n'ai pas pu établir l'unicité de la solution au problème. L'utilisation de l'informatique m'a permis de vérifier que lorsque a et n sont inférieurs à 151 , il n'existe pas d'autre solution.
QUESTION 2
Nous allons montrer que k = 4 vérifie les conditions imposées.
Il est clair que n! / (n – 4)! = (n – 3) ● (n – 2) ● (n – 1) ● n = n^4 – 6 ● n^3 + 11 ● n^2 – 6 ● n . Comme ( (n – 3) + (n – 2)^2 ) ^ 2 = n^4 – 6 ● n^3 + 11 ● n^2 – 6 ● n + 1 , on obtient
les carrés souhaités.
Voici trois solutions à la deuxième partie de Q2 .
6!/2! + 1 = 19^2 , 7!/3! = 29^2 (*) 31!/27! + 1 = 869^2 (**)
(*) Les deux premières solutions sont les seules lorsque l'on impose aussi que a et b soient respectivement à un chiffre.
(**) La troisième solution est la solution unique avec des entiers a et b respectivement à deux chiffres (l'unicité m'a été mentionnée par Philippe Fondanaiche).
