Problème A333 - Solution de Jean Drabbe
Lemme - Si N satisfait aux conditions de l'énoncé, soient
m un nombre obtenu par une suppression autorisée, q le quotient N/m
alors, q ≤ N'/m' < 20 .
Vérification - Obtenons N' en remplaçant tous les chiffres de N sauf le premier par 9 ,
m' en remplaçant tous les chiffres de m sauf le premier par 0 .
Trivialement, q ≤ N' < 20 .
Q1 - Avec les notations de l'énoncé et du lemme précédent, supposons que N satisfasse aux conditions de l'énoncé lorsque le r-ième chiffre passe à la trappe pour une valeur de r > 2 . Alors,
N – q • m = 10^(k – r) • (10 – q) • A + 10^(k – r) • B + (1 – q) • C
(*) où A est formé des r – 1 premiers chiffres de N ,
B est formé du seul chiffre qui passe à la trappe , C est formé des k – r derniers chiffres de N , (le terme (1 – q) • C n'apparaît pas lorsque r = k ).
Il est facile de vérifier que q = 10 est impossible.
Si q > 10 , 10^(k - r) • B < 10^(k – r + 1) . Les deux autres termes du second membre de (*) sont négatifs ,
| 10^(k – r) • (10 – q) • A | ≥ 10^(k – r + 1) (car A est formé d'au moins deux chiffres ) et N - q • m ne peut être nul !
Si q < 10 et r = k , N - q • m ne peut prendre la valeur 0 car aucun des deux termes qui nous intéressent n'est nul et le premier est strictement positif.
Si q < 10 et r < k , on remarque que
|(1 - q) • C| < 10^(k – r + 1) mais 10^(k - r) • A ≥ 10^(k – r + 1) ce qui rend N – q.m = 0 impossible.
L'impossibilité r > 2 est ainsi établie par l'absurde.
Q2 - Avec les notations de l'énoncé et du lemme précédent, supposons que k > 3 et que N satisfasse aux conditions de l'énoncé
lorsque le 2ème chiffre passe à la trappe. Nous allons montrer que, sous ces hypothèses,
k < 7 et 5^(k – 2) divise N . Considérons l'égalité
N – q.m = 10^(k – 2) • (10 – q) • a + 10^(k – 2) • b + (1 – q) • C où a est la premier chiffre de N ,
b est le deuxième chiffre de N ,
C est formé des (k – 2) derniers chiffres de N . Si C est pair , 5^(k – 2) divise (1 – q) .
q = 1 étant exclu, le lemme en début de solution interdit cette situation.
Si C est impair et non divisible par 5 , q ≡ 1 mod 10^(k – 2) ,
et 5^(k – 2) divise (1 – q) comme précédemment.
Nous sommes ainsi certains que C est impair et divisible par 5 . Il faut alors que (q – 1) soit divisible par 2^(k – 2) , situation qui contredit notre lemme lorsque k > 6 .
Q3 - L'argumentation proposée pour Q2 simplifie la recherche des valeurs demandées par Q3 .
Pour
k = 2 on obtient 99 ,
k = 3 891 ,
k = 4 6075 ,
k = 5 70875 ,
k = 6 180625 .
La plus grande valeur possible de k est donc 6 .
