Problème A232 – Solution de Jean Drabbe
Définissons la suite b(m) pour m ≥ 2 par
b(m) est le plus grand diviseur impair de m . Trivialement, pour tout m ≥ 2
b(m) = m lorsque m est impair b(2m) = b(m) pour tout m
Les 15 premières composantes de b(m) (pour 2 ≤ m ≤ 15 ) apparaissent dans les trois lignes :
1 3 (les 2 premières) 1 5 3 7 (les 4 suivantes) 1 9 5 11 3 13 7 15 (les 8 suivantes)
Ce tableau peut être étendu itérativement.
La ligne des 2^(k+1) éléments suivant la ligne de longueur 2^k s'obtient en recopiant cette dernière après y avoir inséré les
naturels
2^(k+1) + 1 , 2^(k+1) + 3 , ... , 2^(k+2) – 1 entre les composantes consécutives et en position finale.
Ainsi, pour la quatrième ligne, on obtient
1 17 9 19 5 21 11 23 3 25 13 27 7 29 15 31
Remplaçons maintenant tous les naturels du tableau représentant la suite b par « + » pour ceux congrus à 1 modulo 4 et par
« - » pour les autres. On obtient le tableau des signes + -
+ + - - + + + - - + - -
Remarquons que ce tableau des signes s'obtient également par un procédé itératif : recopier la dernière ligne obtenue après avoir inséré alternativement les signes « + » et « - » .
Il est clair que la valeur de a(n) pour n ≥ 2 est le nombre de signes « + » parmi les n - 1 premières composantes du tableau des signes diminué du nombre de signes « - » parmi ces mêmes composantes.
Ainsi a(2) = 1 , a(3) = 0 , a(4) = 1 , a(5) = 2 .
Introduisons la suite c(n) pour n ≥ 1 par c(1) = 2
c(n+1) = 2c(n) + 1 si n est impair c(n+1) = 2c(n) si n est pair
Nous disposons (enfin!) de tous les ingrédients nécessaires aux constatations « comptables » .
CONCLUSIONS
Pour tout k ≥ 1 a(2^k – 1) = 0 Pour tout n ≥ 1 a(c(n)) = n
Tout naturel apparaît une infinité de fois dans la suite des a(n) .
