Problème A510 – Note de Jean Drabbe
D'après Ribenboim [3], la théorie des nombres puissants est très intéressante. Il en a résumé les principaux résultats connus en 1988 dans [2]. Je n'ai malheureusement pas pas pu avoir accès à cette publication citée par plusieurs théoriciens des nombres.
Le problème A510 est complètement résolu dans [1].
La différence m – n de deux naturels est dite propre lorsque m et n sont copremiers.
Mollin et Walsh ont décrit un algorithme permettant de montrer explicitement que tout naturel peut être représenté par une différence propre de deux nombres puissants.
La valeur du paramètre i correspondant à n = 7 dans leur table 1.1 (page 804) ne me semble pas correcte. Mon programme de calcul montre que cette valeur est 8 .
Voici les paramètres que j'ai obtenus pour les naturels de 1 à 21.
n m A B T U i _________________________________________________
1 1 2 3 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 3 -3 2 7 8 3 1 4 4 3 5 2 1 1 5 5 4 11 10 3 1 6 9 4 7 8 3 4 7 -7 4 23 24 5 8 8 8 5 17 4 1 6 9 9 4 7 8 3 4 10 25 12 119 120 11 64 11 -11 6 47 48 7 19 12 12 7 37 6 1 15 13 13 6 23 24 5 13 14 49 24 527 528 23 274 15 -15 8 79 80 9 34 16 16 9 65 8 1 28 17 17 8 47 48 7 26 18 81 40 1519 1520 39 778 19 -19 10 119 120 11 53 20 20 11 101 10 1 45 21 21 10 79 80 9 43 __________________________________________________
[1] MOLLIN, R. and WALSH, P., On Powerfuls Numbers, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Vol.9, No.4, (1986), 801-806.
Cet article est disponible sur le site
http://www.hindawi.com/journals/ijmms/1986/812820/abs/
