Problème G236 – Solution de Jean Drabbe TERMINOLOGIE ET NOTATIONS - Les

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Problème G236 – Solution de Jean Drabbe

TERMINOLOGIE ET NOTATIONS - Les nombres triangulaires,

tétraédriques et (plus généralement) polytopiques sont décrits (notamment) dans [1], [2], [3] et sur de nombreux sites internet. Les rubriques A000292 et A000332 de [4] publient également des commentaires intéressants.

Le terme n-suite est une abréviation de suite de longueur n.

N(d,n,k) désigne le nombre de k-suites strictement croissantes de naturels dans {1,2,...,n} dont la première composante est d et telles que la différence entre deux composantes successives est toujours ≥ 2 .

LEMME - Les propriétés suivantes sont triviales.

• si n < 2k + 1 , alors N(1,n,k) = 0

• N(d,n,k) = N(1,(n-(d-1),k)

• N(1,2k-1,k) = 1

• si n ≥ 3 , alors N(1,n,2) = n-2

• si n ≥ 2k+1 , alors

N(1,n,k+1) = N(3,n,k) + N(4,n,k) + ... + N(n+2-2k,n,k) = N(1,n-2,k) + N(1,n-3,k) + ... + N(1,2k-1,k)

PROPOSITION 1 - Il résulte du lemme précédent que les nombres N(1,n,3) non nuls sont exactement les

nombres triangulaiares les nombres N(1,n,4) non nuls sont exactement les

nombres tétraédriques les nombres N(1,n,5) non nuls sont exactement les

nombres pentatopiques

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et, plus généralement,

les nombres N(1,n,k+1) non nuls sont exactement les

nombres triangulaires Dk (Dk signifiant en dimension k)

GROUPES SPECIAUX - Le président pourrait décider de choisir p membres parmi la délégation de 2p

personnes. Ceci limiterait considérablement les possibilités qui seraient réduites à deux.

Imaginons qu'il veuille constituer un groupe de p-1 membres au sein des 2p représentants.

Soit

R(2p) = le nombre de façons de choisir p-1 membres

parmi lesquels on ne trouve jamais deux personnes parlant la même langue.

PROPOSITION 2 - On établit facilement que

R(2p) = N(1,2p-1,p-1) + N(2,2p,p-1) + N(3,2p,p-1) + N(4,2p,p-1) = 2N(1,2p-1,p-1) + N(3,2p,p-1) + N(4,2p,p-1)

= 2N(1,2p-1,p-1) + N(1,2p-2,p-1) + N(1,2p-3,p-1)

PROPOSITION 3 - Pour tout p > 1 R(2p) = p^2

Vérification : Des identités classiques reprises dans les références permettent d'écrire

2N(1,2p-1,p-1) = 2p! / 2(p-2)!

N(1,2p-2,p-1) = (p-1)! / (p-2)!

N(1,2p-3,p-1) = (p-2)! / (p-2)!

CONCLUSION - n = 20 et k = 9 satisfont à l'énoncé.

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REFERENCES

[1] BEILER,A.H., Recreations in the Theory of Numbers, Dover Publications, Inc. (1966)

[2] CONWAY, J.H., The Book of Numbers, Copernicus (an imprint of Springer-Verlag (1996)

Un ouvrage clair, rigoureux, offrant des démonstrations concises et élégantes.

[3] DICKSON, L.E., History of the Theory of Numbers, Carnegie Institute of Washington (1919 – 1920,1923).

Cet ouvrage a fait l'objet de très nombreuses réimpressions.

[4] http://www.research.att.com/~njas/sequences