Problème A354 – Solution de Jean Drabbe

Problème A354 – Solution de Jean Drabbe

Q3 – La démonstration proposée ne fait appel qu'à des propriétés arithmétiques élémentaires.

Nous nous bornerons à traiter un cas particulier dont la généralisation est immédiate.

Les nombres naturels formés exclusivement de chiffres 1 y jouent un rôle central.

Soit d = 3998 . On a :

3998∙1111 = 4441778

On a choisi le multiplicateur 1111 formé de 4 chiffres car 3998 est formé de 4 chiffres.

4441778 • 11111 = 3998 • (11110 + 1) = 44417780 + 3998 ––––––––

= 44421778

La terminaison en 1778 de cette dernière somme n'est pas surprenante car les 4 derniers chiffres d'un produit ne dépendent que des 4 derniers chiffres des facteurs.

3998 • 111111 = 3998 • (111110 + 1) = 444217780 + 3998 –––––––––

= 444221778

Un autre chiffre 2 est introduit dans le résultat car le calcul qui y conduit est le même que précédemment.

Il résulte de ce qui précède que si d = 3998 est multiplié par 11 ... 1 formé de k > 4 chiffres 1 , le nombre 4442 ...21778 où 2 s'introduit k – 4 fois satisfait à la condition imposée dans l'énoncé.

Il est trivial que la technique décrite exige le remplacement, s'il y a lieu, du chiffre 2 introduit dans le cas d = 3998 par un autre chiffre chiffre fonction de d . Il n'est pas difficile de vérifier que cet autre chiffre ne peut jamais être 0 .

Q1 et Q2 – On a : 2014 • 111 = 223554 2014 • 1111 = 2237544 2014 • 11111 = 22377544

Ce sont respectivement 2237544 et 22377544 qui répondent aux questions Q1 et Q2 . Nous nous bornerons à prouver la « minimalité » imposée à 2237544 (car il sera alors aisé d'établir celle de 22377544 ) .

Soit n un nombre naturel multiple de 2014 de la forme 1000 ^● u + 100 ^● a + 10 ^● b + c où 0 ≤ a , b , c ≤ 9 tel que la suppression de l'un de ses chiffres non nul préserve la divisibilité par

2014 et supposons que le chiffre a des centaines soit supprimé. Le nombre n devient ainsi m = 100 ^● u +10 ^● b + c

La valeur absolue de la différence n –10 ^● m est alors │100 ^● (a – b) + 10 ^● (b – c) + d │ . Cette valeur doit à la fois être inférieure ou égale à 999 et être multiple de 2014 !

Un examen analogue montre que b et c ne peuvent également pas être supprimés.

On en conclut qu'aucun des trois derniers chiffres de n ne peut être valablement supprimé.

En d'autres termes, si l'on supprime un chiffre de n conformément à la règle imposée par Q1 , le nombre m ainsi obtenu doit satisfaire à :

m – n est multiple de 1000

et m – n / 1000 est divisible par 1007 .

Il n'est pas difficile de vérifier qu'il n'est pas possible de retenir m – n / 1000 = 1007 . Par contre, m – n = 2014 conduit à la solution proposée.