Problème A559 – Solutions communiquées par Jean Drabbe
Notons S l'ensemble des entiers k tels que la somme de k naturels consécutifs non nuls puisse être un carré parfait.
Q1 – La solution proposée est due à L. Mattics [1].
Propriété. Si k > 25 est un carré parfait qui n'est divisible ni par 2 , ni par 3 alors k ∈ S.
Vérification : Il est facile de vérifier que lorsque k satisfait aux conditions de l'énoncé,
k ∈ S si et seulement si
il existe n et y tels que (n + ((k + 1) / 2)^2) + (k^2 – 1) / 12 = y^2 . Cette dernière condition est réalisée lorsque
y – (n + (k + 1) / 2) = 2 et y + (n + (k + 1) / 2) = (k^2 – 1) / 24 . et a fortiori lorsque
y = 1 + (k^2 – 1) / 48 et n = (k – 25) • (k + 1) / 48 – 1 .
Q2 – Il existe une infinité de naturels qui n'appartiennent pas à S.
Vérification : Soit P l'ensemble des nombres premiers qui apparaissent dans la progression arithmétique infinie de raison 12 :
7 , 19 , 31 , 43 , 55 , . . . . Un résultat de Dirichlet [1] (ou [3], Chapter 24) montre que P est infini.
La suite de la vérification est une généralisation très simple de l'argumentation que j'ai employée dans ma solution au problème A558 – Q2 (Diophante, février 2012) : Soit p un élément de P et supposons que 2 • p – 1 appartienne à S.
Alors, il existe des naturels n et m tels que
(2p – 1) • n^2 + 2 • p • (2p – 1) • n + (4p – 1) /3 . (2p – 1) • p = m^2 .
Il en résulte que – n^2 est un résidu quadratique modulo p . Si n n'est pas divisible par p , il faut que – 1 soit un résidu quadratique modulo p. Une telle situation est
impossible car p ≡ 3 modulo 4 .
Comme p divise n , m^2 est divisible par p^2 mais, (4p – 1) /3 . (2p – 1) • p ne l'est pas !!!
[1] LAUB, M. , LOSSERS, L. MATTICS, L., Squares Expressible As a Sum of
Consecutive Squares, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No 7 (Aug. – Sep., 1990), pp. 622 – 625 .
[2] LEJEUNE DIRICHLET, G., Beweis des Satzes dass jede unbegrenzte arithmetische Progression , deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaflichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält in Lejeune Dirichlet's Werke, Erster Band, Chelsea Publishing Company (1969), pp. 313 – 342.
[3] RIBENBOIM, P., Classical Theory of Algebraic Numbers, Springer-Verlag New York, 2001.
