A372. Carrés par concaténation * à ****
Déterminer au moins trois paires d’entiers consécutifs de sorte que l’entier obtenu par concaténation des deux entiers (pris dans un ordre croissant ou décroissant) est le carré d’un entier<2018.
Pour les plus courageux : démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers consécutifs tels que par concaténation des deux entiers on obtient un carré parfait.
Solution de Claude Felloneau
Les paires 183 et 184, 528 et 529, 715 et 716 conviennent.
Il suffit de trouver au moins 3 entiersntels que par concaténation denetn+1 on obtienne un carré parfait m2avecm∈Nc’est-à-diren(10p+1)+1=m2lorsquens’écrit avecpchiffres et 10p−16n610p−2.
Pour les trouver, on peut faire le raisonnement suivant :
Pourp=3, l’équation s’écrit 1001n=m2−1 soit 7×11×13n=(m−1)(m+1).
Il suffit que
½ m−1=au
m+1=d v avec {a,b,c}={7, 11, 13},d=bc,u∈N,v∈Netuv=n Il suffit queuetvvérifient l’égalité 2=d v−au.
Commeaetdsont premiers entre eux, on peut trouver (avec l’algorithme d’Euclide) deux entiersxety tels que 2=ax+d y.
L’égalité 2=d v−aus’écrita(x+u)=d(v−y). Il suffit donc qu’il existe un entierktel queu=kd−xet v=ka+y.
Pour a =7, on obtientd =143, x=82, y = −4, u =61, v =3 en prenant k =1 donc n =183. On a 183184=4282.
Pour a =11, on obtientd =77, x=25, y = −3, u =66, v =8 en prenant k =1 donc n =528. On a 528529=7272.
Poura =13, on obtientd =77,x =12, y = −2,u =65, v =11 en prenantk =1 doncn =715. On a 715716=8462.
Plus généralement, lorsquepest impair, 10p+1 est divisible par 11 et 10p+1=11d oùd=9090...9091 avecp−1 chiffres. On peut s’inspirer du deuxième cas traité ci-dessus en prenanta=11.
d≡3 [11] si et seulement si 1−9 µp−1
2
¶
≡3 [11] soitp≡3 [11].
Sipest impair et congru à 3 modulo 11, il existeq∈Ntel qued=11q+3 donc 2=11x+d yavecx=3q+1 ety= −3. Il suffit queu=d−3q−1 etv=8 en prenantk=1 donc
n=8(d−3q−1)=8 µ
d−3 µd−3
11
¶
−1
¶
= 8
11(8d−2)= 8 11
µ
810p+1 11 −2
¶
=64.10p−112 121 On an=5.10p−1+35.10p−1−112
121 donc 5.10p−1<n<6.10p−1. Ainsins’écrit avecpchiffres et 10p−16n610p−2.
Pourt∈N,αt=64.103+22t−112
121 est un entier tels qu’en concaténantαt etαt+1 dans cet ordre, on ob- tient un carré parfait.
Lesαtétant tous distincts, il y a donc une infinité de paires d’entiers consécutifs tels que par concaténa- tion des deux entiers on obtient un carré parfait.
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