2018 Q2 - Démontrer qu'il existe une infinité de paires d'entiers consécutifs tels que par concaténation des deux entiers on obtient un carré parfait

A372***** - Carrés par concaténation

Q1 - Déterminer au moins trois paires d'entiers consécutifs de sorte que l'entier obtenu par concaténation des deux entiers (pris dans un ordre croissant ou décroissant) est le carré d'un entier < 2018

Q2 - Démontrer qu'il existe une infinité de paires d'entiers consécutifs tels que par concaténation des deux entiers on obtient un carré parfait.

Proposition de Marc Humery

Q1 / Déterminer au moins trois paires d'entiers consécutifs de sorte que l'entier obtenu par concaténation des deux entiers (pris dans un ordre croissant ou décroissant) est le carré d'un entier < 2018

X = (n, n+1) ou X = (n+1, n) ; n et n+1 consécutifs

n et n+1 : même nombre de chiffres ou n+1 comporte 1 chiffre de plus que n si N < 2018  N² < 4 072 324 ➔ X = N² : 7 chiffres au maximum

I/ X composé de 2k+1 chiffres (k > 0)

n : k chiffres ; n+1 : k+1 chiffres. Une seule possibilité :

n = 10^k-1 = 9(10^k-1+…+1) = 99…9 (k chiffres 9) ; n+1 = 10^k = 100…0 (1 chiffre 1 + k chiffres 0)

a/ Concaténation croissante : X = (n, n+1) = (9…9, 10…0)

Si X = N² ; le nombre de zéros finaux d’un carré est pair ➔ n+1 = 10^2j ➔ X = 9…91 x 10^2j Pour que X soit un carré, il faut que le facteur 9…91 soit un carré

Si l’unité d’un carré est 1, le chiffre des dizaines est pair ➔ 9…91 n’est pas un carré ➔ X ≠ N² b/ Concaténation décroissante : X = (n+1, n) = (10…0, 9…99)

Si X = N² ; si l’unité d’un carré est 9, le chiffre des dizaines est pair ➔10…09…99 n’est pas un carré ➔ X ≠ N²

Conclusion : la concaténation de deux entiers consécutifs composée d’un nombre impair de chiffres ne peut pas être le carré d’un entier.

II/ X composé de 2k chiffres (k > 0)

n : k chiffres ; n+1 = k chiffres ➔ X = N² : 6 chiffres au maximum ➔ N < 10³ ; k = 1, 2, 3

a/ Concaténation croissante : X = (n, n+1)

X = (n, n+1) = 10^kn + (n+1) = (10^k+1)n + 1 ➔ n = (X-1)/(10^k+1) et n+1 = (X+10^k)/(10^k+1) Si X = N² ➔ n = (N²-1)/(10^k+1) = (N-1)(N+1)/(10^k+1)

a1/ n et n+1 comportent k = 1 chiffre

n = (N²-1)/(10¹+1) = (N-1)(N+1)/11 ; 11 premier 0 ≤ n = (N²-1)/11 ≤ 8  1 ≤ N ≤ 9

N-1 = 11a ➔ 1 ≤ N = 11a+1 ≤ 9 ➔ a = 0 ; N = 1 ; n = 0 ; n+1 = 1 ➔ (n, n+1) = (0, 1) = 1² (1) N+1 = 11a ➔ 1 ≤ N = 11a-1 ≤ 9 ➔ (a = 0 ; N = -1 < 1) ; (a = 1 ; N = 10 > 9) ; pas de solution

a2/ n et n+1 comportent k = 2 chiffres

n = (N²-1)/(10²+1) = (N-1)(N+1)/101 ; 101 premier 10 ≤ n = (N²-1)/101 ≤ 98  32 ≤ N ≤ 99

N-1 = 101a ➔ 32 ≤ N = 101a+1 ≤ 99 ➔ (a = 0 ; N = 1 < 32) ; (a = 1 ; N = 102 > 99) ; pas de solution N+1 = 101a ➔ 32 ≤ N = 101a-1 ≤ 99 ➔ (a = 0 ; N = -1 < 32) ; (a = 1 ; N = 100 > 99) ; pas de solution

a3/ n et n+1 comportent k = 3 chiffres

n = (N²-1)/(10³+1) = (N-1)(N+1)/1001 ; 1001 = 7 x 11 x 13 10² ≤ n = (N²-1)/1001 ≤ 998  317 ≤ N ≤ 999

(N-1) ≤ 998 < 1001 et (N+1) ≤ 1000 < 1001 ➔ (N-1) et (N+1) ≠ 1001 Comme n = (N-1)(N+1)/7x11x13

N-1 ≡ 0 [mod 143]  N+1 ≡ 0 [mod 7] ; N+1 ≡ 0 [mod 143]  N-1 ≡ 0 [mod 7]

N-1 ≡ 0 [mod 91]  N+1 ≡ 0 [mod 11] ; N+1 ≡ 0 [mod 91]  N-1 ≡ 0 [mod 11]

N-1 ≡ 0 [mod 77]  N+1 ≡ 0 [mod 13] ; N+1 ≡ 0 [mod 77]  N-1 ≡ 0 [mod 13]

Il est plus pratique de poser N+1 ≡ 0 [mod 143] ; [mod 91] ; [mod 77] car il suffit ensuite d’étudier des congruences modulo un nombre premier

a31/ N+1 ≡ 0 [mod 143]

*N-1 = 143a ➔ 317 ≤ N = 143a+1 ≤ 999 ➔ 2 < a < 7

N+1 = 143a+2 ≡ 3a+2 ≡ 6a+4 ≡ -a+4 ≡ 0 [mod 7]  a ≡ 4 [mod 7] ➔ a = 4 ; N = 573 ; N² = 328 329 (n, n+1) = (328, 329) = 328 329 = 573² (2)

*N+1 = 143a ➔ 317 ≤ N = 143a-1 ≤ 999 ➔ 2 < a < 7

N-1 = 143a-2 ≡ 0 [mod 7]  a ≡ -4 ≡ 3 [mod 7] ➔ a = 3 ; N = 428 ; N² = 183 184 (n, n+1) = (183, 184) = 183 184 = 428² (3)

a32/ N+1 ≡ 0 [mod 91]

*N-1 = 91a ➔ 317 ≤ N = 91a+1 ≤ 999 ➔ 3 < a < 11

N+1 = 91a+2 ≡ 3a+2 ≡ 12a+8 ≡ a-3 ≡ 0 [mod 11]  a ≡ 3 [mod 11] ➔ (a = 3 non) ; (a = 14 > 11) ; pas de solution

*N+1 = 91a ➔ 317 ≤ N = 91a-1 ≤ 999 ➔ 3 < a < 11

N-1 = 91a-2 ≡ a+3 ≡ 0 [mod 11]  a ≡ 8 [mod 11] ➔ a = 8 ; N = 727 ; N² = 528 529 (n, n+1) = (528, 529) = 528 529 = 727² (4)

a33/ N+1 ≡ 0 [mod 77]

*N-1 = 77a ➔ 317 ≤ N = 77a+1 ≤ 999 ➔ 4 < a < 13

N+1 = 77a+2 ≡ -a+2 ≡ 0 [mod 13]  a ≡ 2 [mod 13] ➔ (a = 2 < 4) ; (a = 15 > 13) ; pas de solution

*N+1 = 77a ➔ 317 ≤ N = 77a-1 ≤ 999 ➔ 4 < a < 13

N-1 = 77a-2 ≡ -a-2 ≡ 0 [mod 13]  a ≡ 11 [mod 13] ➔ a = 11 ➔ N = 846 ; N² = 715 716 (n, n+1) = (715, 716) = 715 716 = 846² (5)

Supplément : (n, n+1) ; n et n+1 comportent k = 4 chiffres n = (N²-1)/(10⁴+1) = (N-1)(N+1)/10 001 ; 10 001 = 73 x 137 10³ ≤ n = (N²-1)/10 001 ≤ 9 998  3163 ≤ N ≤ 9 999

*N-1 = 73a ; 3163 ≤ N = 73a+1 ≤ 9999 ➔ 44 < a < 137

N+1 = 73a+2 ≡ 146a+4 ≡ 9a+141 ≡ 3(3a+47) ≡ 0 [137]  3a+47 ≡ 3a-90 ≡ 3(a-30) ≡ 0 [137]  a ≡ 30 [137]

➔ (a = 30 < 44) ; (a = 167 > 137) ; pas de solution

*N+1 = 73a ; 3163 ≤ N = 73a-1 ≤ 9999 ➔ 44 < a < 137

N-1 = 73a-2 ≡ 0 [137]  a ≡ -30 ≡ 107 [137] ➔ a = 107 ; N² = 6099 6100 (n, n+1) = (6099, 6100) = 7810² (6)

b/ Concaténation décroissante ; X = (n+1, n)

X = (n+1, n) = 10^k(n+1) + n = (10^k+1)n + 10^k ➔ n = (X-10^k)/(10^k+1) et n+1 = (X+1)/(10^k+1) X = N² ➔ n = (N²-10^k)/(10^k+1) et n+1 = (N²+1)/(10^k+1) ; k = 1, 2, 3

*Propriétés spécifiques de (N²+1) et de (10^k+1)

∀N, l’entier premier 11 n’est pas un diviseur de N²+1

(10^2j+1+1) ≡ 0 [11] et (10^2j+1) ≡ 2 [11]

b1/ n et n+1 comportent k = 2j+1 chiffres n = (N²-10^k)/(10^k+1) = (N²-10^2j+1)/(10^2j+1+1) n+1 = (N²+1)/(10^k+1) = (N²+1)/(10^2j+1+1)

(10^2j+1+1) est un multiple de 11 qui n’est pas un diviseur de N²+1 ➔ n+1 n’est pas un entier Résultat : (n+1, n) n’a pas de solution si n comporte un nombre impair de chiffres.

b2/ n et n+1 comportent k = 2j chiffres

n = (N²-10^2j)/(10^2j+1) = (N-10^j)(N+10^j)/(10^2j+1) ; n+1 = (N²+1)/(10^2j+1)

k = 2 ; n et n+1 comportent k = 2 chiffres 10 ≤ n = (N²-10²)/(10²+1) ≤ 98 ➔ 34 ≤ N ≤ 99 n = (N-10)(N+10)/101 ; 101 premier

*N-10 = 101 ➔ N = 111 > 99 ; pas de solution

*N+10 = 101 ➔ N = 91 ; N² = 8 281 ➔ (n+1, n) = (82, 81) = 82 81 = 91² (7)

Supplément : (n+1, n) ; n et n+1 comportent k = 4 chiffres 10³ ≤ n = (N²-10⁴)/(10⁴+1) ≤ 10⁴-2 ➔ 3164 < N < 9999 n = (N-100)(N+100)/73 x 137 ; 10⁴+1 = 10 001 = 73 x 137

*/ N-100 ≡ 0 [mod 73]  N+100 ≡ 0 [mod 137]

N-100 = 73a ; 3164 < N = 73a+100 < 9999 ➔ 41 < a < 136

N+100 = 73a+200 ≡ 146a+400 ≡ 9a+126 ≡ 9(a+14) ≡ 0 [137] ➔ (a+14) ≡ 0 [137]  a ≡ 123 [137] ➔ a = 123 N = 9079 ; N² = 8242 8241 ➔ (n+1, n) = (8242, 8241) = 9079² (8)

*/ N+100 ≡ 0 [mod 73]  N-100 ≡ 0 [mod 137]

N+100 = 73a ; 3164 < N = 73a-100 < 9999 ➔ 44 < a < 139

N-100 = 73a-200 ≡ 0 [137]  a ≡ -123 ≡ 14 [137] ➔ (a = 14 < 44 ; a = 151 > 139) ; pas de solution On note qu’il est possible d’avoir a = 137 < 139 ➔ N = 73 x 137 – 100 = 9901 ; N² = 9802 9801 (n+1, n) = (9802, 9801) = 9901² (9)

Conclusion : exemple de 9 paires d’entiers consécutifs

Paires d’entiers consécutifs croissants (n, n+1) dont la concaténation forme un carré N² de 2k chiffres : k = 1 ; (0, 1) = 1²

k = 2 ; néant

k = 3 ; (183, 184) = 428² ; (328, 329) = 573² ; (528, 529) = 727² ; (715, 716) = 846² k = 4 ; (6099, 6100) = 7810²

Paires d’entiers consécutifs décroissants (n+1, n) dont la concaténation forme un carré de 2k chiffres : k = 1 ; néant

k = 2 ; (82, 81) = 91² k = 3 ; néant

k = 4 ; (8242, 8241) = 9079² ; (9802, 9801) = 9901²

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

N²+ 1 2 5 10 17 26 37 50 65 82 101 122

N²+1 mod 11 2 5 10 6 4 4 6 10 5 2 1

Q2 - Démontrer qu'il existe une infinité de paires d'entiers consécutifs tels que par concaténation des deux entiers on obtient un carré parfait.

Étude de la concaténation décroissante ; X = (n+1, n) ; n et n+1 comportent k chiffres n = (X-10^k)/(10^k+1) ; n+1 = (X+1)/(10^k+1)

On a montré que si X = (n+1, n) = N² ➔ k = 2j (pair) X comporte 4j chiffres  N < 10^2j

n = (N²-10^2j)/(10^2j+1) = (N-10^j)(N+10^j)/(10^2j+1) ➔ N > 10^j

Pour que n soit un entier, il faut que les facteurs (N-10^j) et (N+10^j) soient des multiples des diviseurs de (10^2j+1) si celui-ci est un nombre composé.

Cependant, que (10^2j+1) soit un entier composé ou premier, on étudie 2 possibilités à confirmer :

N-10^j = (10^2j+1)a ➔ 10^j < N = (10^2j+1)a + 10^j < 10^2j ➔ (a = 0 ; N = 10^j) ; (a = 1 ; N = 10^2j+10^j+1 > 10^2j) non validé N+10^j = (10^2j+1)a ➔ 10^j < N = (10^2j+1)a – 10^j < 10^2j ➔ a = 1 ; N = 10^2j-10^j+1 < 10^2j validé

On peut donc toujours poser : N+10^j = 10^2j+1 ➔ N = 10^2j-10^j+1 n = N-10^j = 10^2j- 2 x 10^j + 1 = (10^j-1)² et n+1 = (10^j-1)²+1

Il existe j paires d’entiers consécutifs n et n+1 qui sont solutions

Confirmation :

La concaténation X = (n+1, n) = (n+1) x 10^2j + n = [(10^j-1)²+1] x 10^2j + (10^j-1)² X = (10^j-1)² x 10^2j + 10^2j + (10^j-1)² = (10^4j+10^2j-2x10^3j) + 10^2j + (10^j-1)²

X = 10^4j + (10^j-1)² - 2x10^3j + 2x10^2j = 10^4j + (10^j-1)² - 2 x 10^2j x (10^j-1) = [10^2j – (10^j-1)]² X = (10^2j-10^j+1)² = N²

Résultat : X = (n+1, n) = {(10^j-1)²+1, (10^j-1)²} = (10^2j-10^j+1)² = N² pour j = 1, 2, 3, …

Conclusion : il existe une infinité de paires d'entiers consécutifs tels que par concaténation décroissante des deux entiers on obtient un carré parfait.