A372 − Carrés par concaténation
Déterminer au moins trois paires d'entiers consécutifs de sorte que l'entier obtenu par concaténation des deux entiers (pris dans un ordre croissant ou décroissant) est le carré d'un entier < 2018
Pour les plus courageux: démontrer qu'il existe une infinité de paires d'entiers consécutifs tels que par concaténation des deux entiers on obtient un carré parfait.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Pour la première question, Excel fournit rapidement les 5 entiers <2018 dont le carré est la concaténation de deux entiers successifs, à savoir :
91au carré 8281, 428 au carré 183184, 573 328329, 727 528529 et 846 715716.
IL faut maintenant montrer qu’il existe une suite infinie de tels nombres.
Soit un nombre n à p chiffres qui répond à la question. On a alors n.10*p + n +1= u², ou encore n.10*p + n -1= u².
Pour premier cas on peut encore écrire n.(10*p +1)= u²-1 ou encore n.(10*p +1)= (u- 1).(u+1).
Pour p impair = 2k+1, on a (10*p +1) divisible par 11, et le résultat de cette division est le nombre 9090…9091 avec une suite de (k-1) 90 terminé par 91.
En prenant (u-1) (ou (u+1)) égal à un multiple a de (10*p +1)/11 (avec a >1 et <=10 pour obtenir un nombre de p chiffres), on a alors (u+1) (ou (u-1)) égal à 11.n/a,
ou encore n = a.[a.(10*p+1)/11 +2]/11 et dans l’autre cas n = a.[a.(10*p+1)/11 -2]/11.
Pour trouver une solution il faut donc trouver un a (>1 et <=10) tel que a.(10*p+1)/11 +(-)2 soit divisible par 11.
On recherche la solution sur les classes d’équivalence modulo 11 car quand on rajoute un module 9090..90 de 11 90 il est nécessairement divisible par 11.
Dans le premier cas (u-1)= (10*p +1)/11, on obtient les solutions suivantes pour les classes d’équivalence modulo 11 : k=0 a=9 ; k=1 a=3 ; k=2 a=4 ; k=3 a=6 ; k=6 a= 10 ; k=7 a
=5 ;k=8 a=7 ; k=9 a=8 ; k=10 a =2.
Pour le deuxième cas (u+1)= (10*p +1)/11, on obtient les solutions suivantes pour les classes d’équivalence modulo 11 : k=0 a=2 ; k=1 a=8 ; k=2 a=7 ; k=3 a=5 ; k=4 a=10 ; k=7 a =6 ;k=8 a=4 ; k=9 a=3 ; k=10 a =9.
On a donc une méthode pour construire autant de solutions que souhaitées.
A titre d’exemple prenons k=3. On a p=7, et (10*7 +1)/11=909091.
Il faut prendre u-1= 6. 909091 soit 5454546, u=5454547et u² = 2975208 2975209.
Pour k=4, p=9 et (10*9 +1)/11=90909091. On ne peut prendre que u+1 avec a =10, on a alors u+1= 909090910 et u= 909090909, et on obtient u²= 826446280 826446281.
