A372. Carrés par concaténation
Déterminer au moins trois paires d'entiers consécutifs de sorte que l'entier obtenu par concaténation des deux entiers (pris dans un ordre croissant ou décroissant) est le carré d'un entier < 2018
Pour les plus courageux : démontrer qu'il existe une infinité de paires d'entiers consécutifs tels que par concaténation des deux entiers on obtient un carré parfait.
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
Préliminaires
Appelons 𝑥 et 𝑥 + 1 les entiers consécutifs recherchés, et 𝑦 l’entier dont on considère le carré.
On note « ⋄ » l’opérateur de concaténation.
Le problème revient alors à résoudre dans ℕ :
𝑥 ⋄ (𝑥 + 1) = 𝑦2 ou (𝑥 + 1) ⋄ 𝑥 = 𝑦2 On vérifie facilement que 𝑥 = 0 convient. En effet, 0 ⋄ 1 = 01 = 12. Si 𝑥 > 0, le système s’écrit :
{ 𝑥. 10𝑛+ (𝑥 + 1) = 𝑦2 avec 10n−1≤ 𝑥 + 1 < 10𝑛 ou (𝑥 + 1). 10𝑛+ 𝑥 = 𝑦2 avec 10n−1≤ 𝑥 < 10𝑛 Ou encore :
{ (10𝑛+ 1)𝑥 = (𝑦 − 1)(𝑦 + 1) avec 10n−1≤ 𝑥 + 1 < 10𝑛 ou (10𝑛+ 1)𝑥 = 𝑦2− 10𝑛 avec 10n−1≤ 𝑥 < 10𝑛
Question 1
Cherchons de façon exhaustive toutes les solutions telles que 𝑦 < 2018.
Remarquons que 20182= 4072324 possède 7 chiffres, et que ni 1000 ⋄ 999, ni 999 ⋄ 1000 ne sont des carrés parfaits.
On peut donc limiter la recherche aux nombres 𝑥 et 𝑥 + 1 ayant au plus 3 chiffres.
C'est-à-dire à 𝑛 ≤ 3. Il faut donc étudier les 6 cas suivants :
{
11𝑥 = (𝑦 − 1)(𝑦 + 1) avec 1 ≤ 𝑥 + 1 < 10 (i) ou 11𝑥 = 𝑦2− 10 avec 1 ≤ 𝑥 < 10 (ii) ou 101𝑥 = (𝑦 − 1)(𝑦 + 1) avec 10 ≤ 𝑥 + 1 < 100 (iii) ou 101𝑥 = 𝑦2− 102 avec 10 ≤ 𝑥 < 100 (iv) ou 1001𝑥 = (𝑦 − 1)(𝑦 + 1) avec 100 ≤ 𝑥 + 1 < 1000 (v) ou 1001𝑥 = 𝑦2− 1000 avec 100 ≤ 𝑥 < 1000 (vi) (i) ⇒ { (𝑦 − 1)(𝑦 + 1) ≡ 0[11] ⇒ 𝑦 = ±1[11]
0 ≤ 𝑥 < 9 ⇒ 0 ≤ 𝑦2− 1 < 11 × 9 ⇒ 1 ≤ 𝑦 < 10⇒ 𝑦 = 1 ⇒ 𝑥 = 0 (ii) ⇒ 𝑦2≡ −1[11]
D’après la loi de réciprocité quadratique, –1 est un carré modulo 𝑝 (premier impair), si et seulement si 𝑝 est congru à 1 modulo 4. Mais 11 ≡ 3[4], donc l’équation (ii) n’a pas de solutions.
(iii) ⇒ {(𝑦 − 1)(𝑦 + 1) ≡ 0[101] ⇒ 𝑦 ≡ ±1[101]
9 ≤ 𝑥 < 99 ⇒ 30 < 𝑦 < 100 ⇒ pas de solutions
(iv) ⇒ {(𝑦 − 10)(𝑦 + 10) ≡ 0[101] ⇒ 𝑦 ≡ ±10[101]
10 ≤ 𝑥 < 100 ⇒ 33 < 𝑦 < 100 ⇒ 𝑦 = 91 ⇒ 𝑥 = 81
(v) ⇒ {(𝑦 − 1)(𝑦 + 1) ≡ 0[7 × 11 × 13] ⇒ 𝑦 ≡ ±1[7] et 𝑦 ≡ ±1[11] et 𝑦 ≡ ±1[13]
99 ≤ 𝑥 < 999 ⇒ 1001 × 99 ≤ 𝑦2− 1 < 1001 × 999 ⇒ 314 < 𝑦 < 1000 On poursuit grâce au théorème des restes chinois, pour obtenir :
(v) ⇒ 𝑦 = 428, 573, 727 ou 846 ⇒ 𝑥 = 183, 328, 528 ou 715 Et enfin…
(vi) ⇒ 𝑦2≡ −1[7 × 11 × 13] ⇒ 𝑦2≡ −1[11]
…qui n’a pas de solutions, pour les raisons déjà vues au (ii).
En conclusion, l’ensemble de solutions au problème avec 𝑦 < 2018 sont : 0 ⋄ 1 = 12
82 ⋄ 81 = 912 183 ⋄ 184 = 4282 328 ⋄ 329 = 5732 528 ⋄ 529 = 7272 715 ⋄ 716 = 8462
Question 2
Cherchons des solutions parmi les concaténations « décroissantes » :
(10𝑛+ 1)𝑥 = 𝑦2− 10𝑛 avec 10𝑛−1≤ 𝑥 < 10𝑛 En prenant en outre 𝑛 = 2𝑘, il vient :
(102𝑘+ 1)𝑥 = (𝑦 + 10𝑘)(𝑦 − 10𝑘) avec 102𝑘−1 ≤ 𝑥 < 102𝑘 On identifie les facteurs de chaque membre deux à deux, pour choisir finalement :
{𝑥 = 102𝑘− 2. 10𝑘+ 1 𝑦 = 𝑥 + 10𝑘 On obtient ainsi une infinité de solutions, de la forme :
82 ⋄ 81 = 912 9802 ⋄ 9801 = 99012 998002 ⋄ 998001 = 9990012 99980002 ⋄ 99980001 = 999900012
…
