A324 Deux entiers consécutifs
Solution d’Emmanuel Lecouturier
On va prouver que le plus petit n tel que n et n+1 ont la somme de leurs chiffres divisible par 2009 est :n = 2999...98999...9
où les 9 en rouge sont au nombre de 222 et les 9 en bleu sont au nombre de 893.
Soit n une éventuelle solution.
Notons S( X ) la somme des chiffres de l'entier X.
Cas 1 :
si n ne se termine pas par un 9, alors S(n+1) = S(n)+1 = 1 [2009] , impossible Cas 2 :
n = X999...9 (où il y a k chiffres 9 à droite de X, où X est un nombre naturel dont le chiffre des unités est distinct de 9)
On a :
S(n) = S(X) + 9k
S(n+1) = S(n) - 9k + 1 = S(X)+1 (retenues, les 9 deviennent des 0, le chiffre des unités augmente de 1)
On a donc :
9k=1[2009] et S(x) = - 1 [2009]
On doit donc trouver le plus petit k > 0 tel que 9k = 1 [2009] et le plus petit entier X tel que S(X) = -1 [2009] et tel que le chiffre des unités de X est distinct de 9.
Pour k , on trouve k = 893
Pour minimiser X, on doit avoir X = 299..98 (où les 9 apparaissent au nombre de 222) car X doit avoir son dernier chiffre (ici 2) minimal et un nombre de chiffre minimal.
Donc n = 2999...98999...9
On vérifie que S(n)=2+9*222+8+9*893=5*2009 et n+1=2999...99000...00. Donc S(n+1) = 2+9*222+9*1+0*893 = 2009
![26], une solution et une seule qu’on noteraαet donner l’encadrement deαpar deux entiers naturels consécutifs](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)