A324 – Deux entiers consécutifs…
Deux entiers consécutifs et ont l’un et l’autre la somme de leurs chiffres divisible par 2009. Quelle est la plus petite valeur possible de ?
Source : d’après Puzzleup – été 2008
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Notons la somme des chiffres de .
On pose le nombre de 9 terminant l’écriture décimale de , et le nombre précédant tous ces 9 dans cette écriture décimale. On remarque en particulier que ne finit donc pas par un 9.
Il vient :
Les conditions de l’énoncé d’écrivent alors :
On en déduit en particulier, par soustraction, que , c'est-à-dire que . En prenant , on obtiendrait un nombre ayant plus de 2900 chiffres…
On choisit donc , puis le plus petit ne finissant pas par un 9 et tel que :
On obtient finalement la plus petite valeur de :
