A372. Carrés par concaténation
Déterminer au moins trois paires d'entiers consécutifs de sorte que l'entier obtenu par concaténation des deux entiers (pris dans un ordre croissant ou décroissant) est le carré d'un entier < 2018.
Pour les plus courageux : démontrer qu'il existe une infinité de paires d'entiers consécutifs tels que par concaténation des deux entiers on obtient un carré parfait.
SOLUTION
Voici toutes les solutions donnant le carré d’un entier inférieur à 2018 : - {81 ; 82} car 8 281 = 91>
- {183 ; 184} car 183 184 = 428>
- {328 ; 329} car 328 329 = 573>
- {528 ; 529} car 528 529 = 727>
- {715 ; 716} car 715 716 = 846>
Pour les plus courageux.
À défaut d’une démonstration en bonne et due forme, voici un procédé permettant d’obtenir toutes les paires telles que la concaténation par ordre croissant donne un carré.
On recherche une paire du type {𝒏 ; 𝒏 + 𝟏} où 𝒏 est un entier à 𝒌 chiffres.
La concaténation de 𝑛 et 𝑛 + 1 donne l’entier 10V𝑛 + (𝑛 + 1) = (10V+ 1)𝑛 + 1.
On veut donc que (10V+ 1)𝑛 + 1 puisse s’écrire sous la forme 𝑎>.
Ceci équivaut à l’égalité : 𝑎>− 1 = (10V+ 1)𝑛 , soit encore (𝑎 − 1)(𝑎 + 1) = (10V+ 1)𝑛.
Soient 𝑥 et 𝑦 deux diviseurs positifs de 10V+ 1, distincts* , tels que 𝑥 < 𝑦 et 𝑥𝑦 = 10V+ 1.
On peut remarquer que 𝑥 et 𝑦 sont donc nécessairement impairs.
Soient 𝑢 et 𝑣 deux diviseurs positifs de 𝑛 tels que 𝑛 = 𝑢𝑣.
On obtient alors (𝑎 − 1)(𝑎 + 1) = 𝑢𝑣𝑥𝑦.
On peut alors identifier (𝑎 − 1) à 𝑥𝑢 et (𝑎 + 1) à 𝑦𝑣.
La soustraction membre à membre de ces deux égalités donne : (𝑎 + 1) + (𝑎 − 1) = 𝑦𝑣 − 𝑥𝑢 = 2.
*Remarque : Si on avait 𝑥 = 𝑦, alors 𝑦𝑣 − 𝑥𝑢 = 2 donnerait 𝑥(𝑣 − 𝑢) = 2 ce qui n’est possible que si 𝑥 = 𝑦 = 1. Donc on a bien 𝑥 ≠ 𝑦.
Cette équation en 𝑢 et 𝑣 n’a donc de solutions que si 𝑥 et 𝑦 sont premiers entre eux.
Si (𝑢h ; 𝑣h) est un couple de solutions de cette équation alors, toutes les solutions sont de la forme : (𝑢 ; 𝑣) = (𝑢h+ 𝑝𝑦 ; 𝑣h+ 𝑝𝑥).
De plus, le couple (𝑢 ; 𝑣) doit vérifier 10Vjk≤ 𝑢𝑣 ≤ 10V− 2 (car 𝑛 et 𝑛+1 doivent avoir 𝑘 chiffres).
Or, 𝑢𝑣 = (𝑢h+ 𝑝𝑦)(𝑣h+ 𝑝𝑥) = 𝑥𝑦𝑝>+ (𝑢h𝑥 + 𝑣h𝑦)𝑝 + 𝑢h𝑣h.
Ainsi, 𝑢𝑣 ≤ 10V− 2 ⇔ 𝑥𝑦𝑝> + (𝑢h𝑥 + 𝑣h𝑦)𝑝 + 𝑢h𝑣h− 10V+ 2 ≤ 0.
Soient 𝑝k et 𝑝> les racines (éventuelles) de ce polynôme du 2nd degré en 𝑝.
On teste alors tous les couples, (𝑢 ; 𝑣) obtenus avec 𝑝 ∈ [𝑝k ; 𝑝>].
Si 𝑢𝑣 ≥ 10Vjk, alors (𝑢 ; 𝑣) est solution.
Exemple : Supposons 𝒌 = 𝟓.
100 001 a 4 diviseurs : 1 , 11, 9091 et 100 001.
On teste 2 cas :
1) (𝒙 ; 𝒚) = (𝟏 ; 𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟏) z 𝑢 = 𝑎 − 1
100 001𝑣 = 𝑎 + 1 donne 100 001𝑣 − 𝑢 = 2.
D’où {𝑢 =– 2 + 100 001𝑝 𝑣 = 𝑝 .
Le seul produit 𝑢𝑣 inférieur ou égal à 99 998 est obtenu pour 𝑝 = 0 mais on a alors 𝑢𝑣 = 0...
2) (𝑥 ; 𝑦) = (11 ; 9 091)
z 11𝑢 = 𝑎 − 19 091𝑣 = 𝑎 + 1 donne 9 091𝑣 − 11𝑢 = 2.
D’où {𝑢 =– 3 306 + 9 091𝑝 𝑣 =– 4 + 11𝑝 .
Les produits 𝑢𝑣 inférieurs ou égaux à 99 998 sont obtenus pour 𝑝 ∈ {0 ; 1}.
- 𝑝 = 0 donne 𝑢𝑣 = (– 3 306) × (– 4) = 𝟏𝟑 𝟐𝟐𝟒qui est une solution.
- 𝑝 = 1 donne 𝑢𝑣 = 5 785 × 7 = 𝟒𝟎 𝟒𝟗𝟓qui est une solution.
Conclusion : les solutions à 5 chiffres sont donc : {13 224 ; 13 225} et {40 495 ; 40 496}.
Le programme en Annexe 1 permet de trouver toutes les solutions pour une valeur de 𝑘 fixée.
Il révèle que la suite du nombre de solutions en fonction de 𝑘 (1 ≤ 𝑘 ≤ 36) commence ainsi : 0 ; 0 ; 4 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 20 ; 4 ;
11 ; 4 ; 5 ; 10 ; 86 ; 21 ; 8 ; 4 ; 1 ; 11 ; 88 ; 7 ; 19 ; 4 ; 22 ; 4 ; 86 ; 10 ; 5 ; 84 ;
1 ; 10 ; 146 ; 7 ; 19 ; 41 ; ...
Et il y même 2 809 solutions pour 𝒌 = 𝟒𝟓 !!!
Ainsi, on peut légitimement conjecturer qu’il existe une infinité de paires vérifiant la propriété...
La solution à 31 chiffres est trouvée en 63 ms.
On a alors : 𝒏=8264462809917355371900826446280.
𝐎𝐧 𝐨𝐛𝐭𝐢𝐞𝐧𝐭 𝐚𝐥𝐨𝐫𝐬 𝐥𝐞 𝐜𝐚𝐫𝐫𝐞́ 𝐝𝐮 𝐧𝐨𝐦𝐛𝐫𝐞 : 𝟗𝟎𝟗𝟎𝟗𝟎𝟗𝟎𝟗𝟎𝟗𝟎𝟗𝟎𝟗𝟎𝟗𝟎𝟗𝟎𝟗𝟎𝟗𝟎𝟗𝟎𝟗𝟎𝟗𝟎𝟗 = 𝟗 — 𝟏𝟎𝟐𝒌
𝟏𝟓
𝒌˜𝟎
. Les 146 solutions à 33 chiffres sont trouvées en 3,5 secondes.
La plus grande solution à 36 chiffres est : 𝒏 = 𝟗𝟖𝟏𝟑𝟑𝟑𝟎𝟓𝟕𝟓𝟔𝟔𝟕𝟗𝟔𝟑𝟐𝟏𝟕𝟗𝟎𝟓𝟎𝟕𝟓𝟏𝟔𝟖𝟕𝟕𝟑𝟗𝟗𝟗𝟐𝟖. 𝐎𝐧 𝐨𝐛𝐭𝐢𝐞𝐧𝐭 𝐚𝐥𝐨𝐫𝐬 𝐥𝐞 𝐜𝐚𝐫𝐫𝐞́ 𝐝𝐮 𝐧𝐨𝐦𝐛𝐫𝐞 ∶ 𝟗𝟗𝟎𝟔𝟐𝟐𝟓𝟔𝟎𝟓𝟗𝟖𝟓𝟑𝟒𝟎𝟕𝟖𝟏𝟐𝟏𝟔𝟕𝟑𝟓𝟒𝟑𝟒𝟓𝟓𝟓𝟔𝟏𝟎𝟕𝟕.
Le cas des concaténations décroissantes se traite de manière similaire si on ne recherche que les solutions 𝑛 ayant un nombre pair de chiffres.
Il semble d’ailleurs qu’il n’y ait pas de solution dans le cas d’un nombre impair de chiffres pour 𝒏 ...
Si 𝒌 est pair, on a 𝑁 = (𝑛 + 1)𝑛žžžžžžžžžžž = (𝑛 + 1) × 10V+ 𝑛 = (10V+ 1)𝑛 + 10V = 𝑎> . D’où, en reprenant les notations du cas « croissant » :
(10V+ 1)𝑛 = ¡𝑎 − 10V >⁄ £¡𝑎 + 10V >⁄ £ = 𝑥𝑦𝑢𝑣 On obtient ensuite : 𝑦𝑣 − 𝑥𝑢 = 2 × 10V >⁄ .
Cette équation en 𝑢 et 𝑣 n’a de solutions que si pgcd(𝑥 ; 𝑦) est un diviseur de 2 × 10V >⁄ . La suite du nombre de solutions en fonction de 𝑘 pair (2 ≤ 𝑘 ≤ 36) commence ainsi :
1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 4 ; 5 ; 11 ; 23 ; 6 ; 11 ; 9 ; 6 ; 5 ; 7 ; 86 ; 10 ; 10 ; 44 ; ...
Et il y même 344 solutions pour 𝑘 = 48 !!!
La plus grande solution à 36 chiffres est : 𝒏 = 𝟓𝟔𝟕𝟏𝟎𝟑𝟖𝟔𝟖𝟐𝟑𝟔𝟔𝟏𝟒𝟕𝟔𝟓𝟓𝟎𝟗𝟖𝟔𝟗𝟐𝟕𝟏𝟖𝟒𝟓𝟗𝟒𝟑𝟎𝟓𝟔. 𝐎𝐧 𝐨𝐛𝐭𝐢𝐞𝐧𝐭 𝐚𝐥𝐨𝐫𝐬 𝐥𝐞 𝐜𝐚𝐫𝐫𝐞́ 𝐝𝐮 𝐧𝐨𝐦𝐛𝐫𝐞 ∶ 𝟕𝟓𝟑𝟎𝟔𝟐𝟗𝟗𝟎𝟖𝟖𝟐𝟑𝟏𝟑𝟎𝟖𝟖𝟐𝟔𝟓𝟗𝟓𝟖𝟐𝟔𝟎𝟕𝟓𝟔𝟐𝟎𝟐𝟎𝟖𝟒.
Annexe 1
Concaténations croissantes
Annexe 2
Concaténations décroissantes
