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10..01 * n = (k-1) * (k+1) Q2 Q1 Proposition A372. Carrés par concaténation *

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

A372. Carrés par concaténation *

Déterminer au moins trois paires d'entiers consécutifs de sorte que l'entier obtenu par concaténation des deux entiers (pris dans un ordre croissant ou décroissant) est le carré d'un entier < 2018

Pour les plus courageux: démontrer qu'il existe une infinité de paires d'entiers consécutifs tels que par concaténation des deux entiers on obtient un carré parfait.

Proposition Th Eveilleau Q1

Il y a exactement quatre réponses : 183 et 184  183 184 = 428² 328 et 329  328 329 = 573² 528 et 529  528 529 = 727² 715 et 716  715 716 = 846²

Le suivant donne un résultat plus grand que 2018² : 6099 et 6100  60 996 100 = 7810²

Q2

De longueur 4, nous en avons qu’un seul : 6099 et 6100  60 996 100 = 7810² De longueur 5, nous avons :

13 224 et 13 225  1 322 413 225 = 36 365² 40 495 et 40 496  40 495 40 496 = 63 636² Observation

183 184 = 1001 * 183 + 1

13224 13225 = 100001 * 13224 + 1

De façon générale si le nombre entier n est de longueur x la concaténation de n et de n+1 sera égale à 10..01 * n + 1 ; le nombre 10..01 contenant x-1 zéros.

Je note concat(n,n+1), le nombre obtenu en concaténant les deux entiers consécutifs n et n+1.

Nous devons trouver un entier k tel que : concat(n,n+1) = k² Soit concat(n,n) = k² -1

concat(n,n) = (k - 1)(k + 1) Soit

10..01 * n = (k-1) * (k+1)

Il faudra choisir k, tel que le produit (k-1) * (k+1) soit congru à 0 modulo 10..01.

On ne gardera que les entiers k donnant un carré k² de longueur paire.

Ceux donnant un carré de longueur impaire seraient obtenus aves des consécutifs comme 999 et 1000, OU bien 9999 et 10000 … mais ce ne sont pas des carrés.

Le nombre n est entier s’en déduit : (k-1) * (k+1) / 10..01

(2)

Exemples :

De longueur 6, nous avons :

106 755 et 106 756  326 734² 425 288 et 425 289  673 267² De longueur 7, nous avons :

2 066 115 et 2 066 116  4 545 454² 2 975 208 et 2 975 209  5 454 547² De longueur 8, nous avons :

22 145 328 et 22 145 329  47 058 823² 28 027 683 et 28 027 684  52 941 178² De longueur 9, nous avons :

110 213 248 et 110 213 249  331 983 807 ² etc.

En poursuivant avec des longueurs différentes on trouve de nombreuses solutions.

Est-ce toujours possible ?

Pour un nombre de longueur x, nous avons obtenu l’équation dans laquelle

10..01

contient x-1 zéros.

10..01 * n = k² -1

Soit

k*k - 10..01 * n = 1

Exemple avec un nombre de longueur 4,

10001 = 73 *137 73 * 137 * m = (k-1)(k+1)

On peut chercher

73 * 137 * m - k² = -1 OU k * k - 73 * 137 * m = 1

m =6099 donne k = 7810 = 2 * 5 * 11 * 71 2² * 5² * 11² * 71² - 73 * 137 * 3 * 19 * 107 = 1

Le théorème de Bezout, permet de montrer l’existence d’un résultat quand on utilise des facteurs premiers entre eux.

(3)

Un petit programme permet de les retrouver :

function Q2(long) {

var mini=Math.pow(10,long-1);

var maxi=Math.pow(10,long)-1;

var onz=Math.pow(10,long)+1;

for (var k=mini; k<maxi; k++) { var p=(k-1)*(k+1);

if ((p % onz==0) && ( String(k*k).length%2==0)) { trace('trouvé avec la racine ',k);

//return true;

} }

}

(4)

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