A372. Carrés par concaténation *
Déterminer au moins trois paires d'entiers consécutifs de sorte que l'entier obtenu par concaténation des deux entiers (pris dans un ordre croissant ou décroissant) est le carré d'un entier < 2018
Pour les plus courageux: démontrer qu'il existe une infinité de paires d'entiers consécutifs tels que par concaténation des deux entiers on obtient un carré parfait.
Proposition Th Eveilleau Q1
Il y a exactement quatre réponses : 183 et 184 183 184 = 428² 328 et 329 328 329 = 573² 528 et 529 528 529 = 727² 715 et 716 715 716 = 846²
Le suivant donne un résultat plus grand que 2018² : 6099 et 6100 60 996 100 = 7810²
Q2
De longueur 4, nous en avons qu’un seul : 6099 et 6100 60 996 100 = 7810² De longueur 5, nous avons :
13 224 et 13 225 1 322 413 225 = 36 365² 40 495 et 40 496 40 495 40 496 = 63 636² Observation
183 184 = 1001 * 183 + 1
13224 13225 = 100001 * 13224 + 1
De façon générale si le nombre entier n est de longueur x la concaténation de n et de n+1 sera égale à 10..01 * n + 1 ; le nombre 10..01 contenant x-1 zéros.
Je note concat(n,n+1), le nombre obtenu en concaténant les deux entiers consécutifs n et n+1.
Nous devons trouver un entier k tel que : concat(n,n+1) = k² Soit concat(n,n) = k² -1
concat(n,n) = (k - 1)(k + 1) Soit
10..01 * n = (k-1) * (k+1)
Il faudra choisir k, tel que le produit (k-1) * (k+1) soit congru à 0 modulo 10..01.
On ne gardera que les entiers k donnant un carré k² de longueur paire.
Ceux donnant un carré de longueur impaire seraient obtenus aves des consécutifs comme 999 et 1000, OU bien 9999 et 10000 … mais ce ne sont pas des carrés.
Le nombre n est entier s’en déduit : (k-1) * (k+1) / 10..01
Exemples :
De longueur 6, nous avons :
106 755 et 106 756 326 734² 425 288 et 425 289 673 267² De longueur 7, nous avons :
2 066 115 et 2 066 116 4 545 454² 2 975 208 et 2 975 209 5 454 547² De longueur 8, nous avons :
22 145 328 et 22 145 329 47 058 823² 28 027 683 et 28 027 684 52 941 178² De longueur 9, nous avons :
110 213 248 et 110 213 249 331 983 807 ² etc.
En poursuivant avec des longueurs différentes on trouve de nombreuses solutions.
Est-ce toujours possible ?
Pour un nombre de longueur x, nous avons obtenu l’équation dans laquelle
10..01
contient x-1 zéros.10..01 * n = k² -1
Soitk*k - 10..01 * n = 1
Exemple avec un nombre de longueur 4,
10001 = 73 *137 73 * 137 * m = (k-1)(k+1)
On peut chercher
73 * 137 * m - k² = -1 OU k * k - 73 * 137 * m = 1
m =6099 donne k = 7810 = 2 * 5 * 11 * 71 2² * 5² * 11² * 71² - 73 * 137 * 3 * 19 * 107 = 1
Le théorème de Bezout, permet de montrer l’existence d’un résultat quand on utilise des facteurs premiers entre eux.
Un petit programme permet de les retrouver :