A372. Carrés par concaténation
Déterminer au moins trois paires d'entiers consécutifs de sorte que l'entier obtenu par concaténation des deux entiers (pris dans un ordre croissant ou décroissant) est le carré d'un entier < 2018
Pour les plus courageux: démontrer qu'il existe une infinité de paires d'entiers consécutifs tels que par concaténation des deux entiers on obtient un carré parfait.
Solution proposée par Maurice Bauval :
Cherchons des nombres de 3 chiffres X tels que 1000.X +X+1 = n² , soit 1001.X = (n+1)(n – 1) Factorisation de 1001 = 7*11*13 = 7*143 = 11*91 = 77*13
Si A et B sont premiers entre eux et si A*B = 1001, si x.A – y.B = 2,
et si le nombre n = x*y a 3 chiffres, la concaténation de n et n+1 donne un nombre de 6 chiffres qui est un carré parfait.
1001= 7*143 82*7 – 4*143 = 2 82*4 = 328 328329 = 573² 3*143 – 61*7 = 2 3*61 = 183 183184 = 428² 1001= 91*11 8*91 – 66*11 = 2 8*66 = 528 528529 = 727² 1001 = 77*13 11*77 – 65*13 = 2 11*65 = 715 715716 = 846² Voici 4 paires d'entiers consécutifs satisfaisant aux conditions requises : (183,184), (328,329), (528,529), (715, 716).
Preuve de l'existence d'une infinité de paires d'entiers consécutifs qui, par concaténation donnent un carré parfait. Remarquons que tous les nombres de la forme 100..001 où le nombre de zéros est pair sont multiples de 11, et 100...001 = 11* 9090,,9091.
Commençons par chercher une paire de nombres consécutifs de 5 chiffres : 100001 = 11*9091, Le nombre 9091 n'est pas multiple de 11, il est congru à 5.
7*5 = 35 ≡ 2 (mod 11), (7*9091 – 2) / 11 = 5785, 7*5785 = 40 495 contient bien 5 chiffres et on constate que 4049540496 = 63636².
Idem pour des paires de nombres de 27 chiffres :
1000000000000000000000000001 = 11*90909090909090909090909091
A = 90909090909090909090909091 est encore congru à 5, donc 7*A≡ 2 (mod 11), [(7*A – 2) / 11]*7 = 404958677685950413223140495 contient bien 27 chiffres
et on constate que 404958677685950413223140495404958677685950413223140496 est égal à 636363636363636363636363636².
Donc la paire de nombres consécutifs
( 404958677685950413223140495, 404958677685950413223140496) convient.
Les résultats sont analogues et sont prolongeables avec des paires de nombres de 49, 71, 93,..., 5+22k chiffres. Donc il existe une infinité de paires d'entiers consécutifs tels que par concaténation des deux entiers on obtient le carré parfait d'un nombre constitué d'une alternance de chiffres 6 et 3.
