Carrés par concaténation
Problème A372, de Diophante
Déterminer au moins trois paires d'entiers consécutifs de sorte que l'entier obtenu par concaténation des deux entiers (pris dans un ordre croissant ou
décroissant) est le carré d'un entier < 2018
Pour les plus courageux: démontrer qu'il existe une infinité de paires d'entiers consécutifs tels que par concaténation des deux entiers on obtient un carré parfait.
Solution
La recherche systématique de solutions pour les entiers ayant au plus quatre chiffres décimaux nous donne :
91*91 = 8281
428*428 = 183184 ; 573*573 = 328329 ; 727*727 = 528529 ; 846*846 = 715716 7810*7810 = 60996100 ; 9079*9079 = 82428241 ; 9901*9901 = 98029801
Plus loin on trouve : 999001*999001 = 998002998001
Ce résultat n’est autre que : 91*91 = 8281 en base 1000, en interprétant 9 comme 999 = 1000-1, 1 comme 001, 8 comme 998 = 1000-2 et 2 comme 002.
Evidemment ce constat vaut pour toutes les bases puissances de 10.
Autrement dit, pour tout n, le carré de 10n * (10n-1) + 1 s’écrit comme la concaténation de l’écriture de 10n * (10n-2) + 2 et celle de son prédécesseur.
Exemple, ci-dessous, pour n = 6 :
999 999 000 001* 999 999 000 001 = 999 998 000 002 999 998 000 001
