Déterminer au moins trois paires d'entiers consécutifs de sorte que l'entier obtenu par concaténation des deux entiers (pris dans un ordre croissant ou décroissant) est le carré d'un entier < 2018
Pour les plus courageux: démontrer qu'il existe une infinité de paires d'entiers consécutifs tels que par concaténation des deux entiers on obtient un carré parfait.
Il n’y a pas de carré à deux chiffres consécutifs ; 912=8281 est la seule solution à 4 chiffres.
Si n2 est un nombre de 6 chiffres obtenu par concaténation de deux nombres consécutifs dans l’ordre croissant, n2-1 est divisible par 1001=7*11*13. Comme n2-1=(n-1)(n+1) et que ces deux facteurs ont au plus 2 comme diviseur commun, 7 (par exemple) divise l’un ou l’autre des facteurs. Puisque 7 et 143 (=11*13) sont premiers entre eux, les nombres de la forme 143k où k est un entier compris entre 0 et 6 ont tous trois chiffres et prennent toutes les valeurs possibles modulo 7 entre 1 et 6, donc 2 et 5.
On obtient ainsi 3*143=61*7+2, 4*143=82*7-2, qui conduisent aux solutions 3*143-1=428 et 4282=183184 ; 4*143+1=573 et 5732=328329.
Avec les diviseurs 11 et 13 on obtiendrait de même 7272=528529 et 8462=715716.
Plus généralement, si n2 est un nombre de 2(2p+1) chiffres obtenu par concaténation de deux entiers consécutifs dans l’ordre croissant, n2-1 est divisible par 102p+1+1.
102p+1+1 est divisible par 11, et peut donc se factoriser : il existe a et b premiers entre eux, 1<a<b, tels que ab= 102p+1+1 : il existe alors k<a et h<b tels que kb=ha+2 et le (kb-1)2=(kb-1)(ha+1)=hkab+kb-ha-1= (102p+1+1 )hk+1 : il y a donc une infinité de solutions au problème posé.
