A324 : Deux entiers consécutifs
Deux entiers consécutifs n et n+1 ont l’un et l’autre la somme de leurs chiffres divisible par 2009. Quelle est la plus petite valeur possible de n ?
Soit s(n) la somme des chiffres de n; si n se termine pas par le chiffre 9, s(n+1)=s(n)+1;
si n se termine par k chiffres 9, s(n+1)=s(n)+1-9k .
s(n) et s(n+1) seront tous deux divisibles par 2009 si et seulement si 9k-1 est divisible par 2009=9*223+2 : le plus petit multiple de 2009 de la forme 9k-1 est 4*2009=8036, et k=893 ; n est donc de la forme m9...9 (un nombre m ne se terminant pas par le chiffre 9 suivi de 893 fois le chiffre 9) avec s(n)=s(m)+ 9*893=s(m)+4*2009+1. La plus petite valeur admissible pour s(m) est donc 2008=9*223+1 : m a donc au minimum 224
chiffres, et comme le dernier ne peut être un 9, le plus petit doit être 29...98 (222 fois 9), soit n=29...989...9 , avec 222 puis 893 fois le chiffre 9.