Diophante A372 Carrés par concaténation 1/ 8281 = 91

Diophante A372 Carrés par concaténation

1/ 8281 = 91², 183184 = 428² et 328329 = 573² demandés, puis 528529 = 727² et 715716 = 846² sont chacun le carré d’un entier < 2018.

2/ Limitons notre recherche aux entiers X et X+1 pris dans l’ordre croissant et tels que X et X+1 comptent 2N+1 chiffres (N ≥ 1).

10^2N+1 X + (X + 1) = Y² donne (10^2N+1 + 1) X = (Y – 1) (Y + 1).

Soit i l’exposant de 11 dans la décomposition de 10^2N+1 + 1 en facteurs premiers.

11ⁱ et (10^2N+1 + 1) / 11ⁱ sont des entiers naturels premiers entre eux.

Cherchons Y = 11ⁱ A + 1 = ((10^2N+1 + 1) / 11ⁱ) B – 1 (A et B ne sont pas forcément entiers).

((10^2N+1 + 1) / 11ⁱ) B - 11ⁱ A = 2.

D’après le théorème de Bachet-Bézout, il existe u et v (une solution particulière) tels que A - u = k ((10^2N+1 + 1) / 11ⁱ) et B - v = k 11ⁱ (k rationnel).

Il est possible de trouver k de sorte que X compte 2N+1 chiffres, c’est-à-dire 10^2N ≤ A B < 10^2N+1, car k = √((A – u) (B – v) / (10^2N+1 + 1)).

Pour illustrer, reprenons le premier exemple N = 1. 10^2N+1 + 1 = 1001 = 11 x 91 (i = 1).

8 x 91 – 11 x 66 = 2, u = 66 et v = 8.

A – u = - 14 et B – v = - 22/13, k = - 2/13. A = 52 et B = 82/13, X = 328.

Y – 1 = 11 x 52 et Y + 1 = 91 x (82/13), Y = 573.

Jean-Louis Legrand