Enoncé A427 (Diophante) Une ribambelle de carrés
Soit un entier p ≥ 1. On cherche les entiers naturels distincts a et b tels que les six produits des entiersa, b, a+petb+ppris deux à deux donnent le plus grand nombre possible m(p) de carrés parfaits. Démontrer que : Q1 : m(p)>1 quel que soitp.
Q2 : m(p) = 2 pour un nombre fini de valeurs de p.
Q3 : si m(p)>3 alors m(p) = 6.
Q4 : il existe une infinité de valeurs de p telles quem(p) = 6. Déterminer le plus petit entier p et un couple (a, b) tel quem(p) = 6.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Je traite la question 2 après les autres.
Question 1
Quel que soit p, (a, b) = (p,8p) fournit les deux carrés a(b+p) = (3p)2, (a+p)b= (4p)2.
Question 3
Chacun des 4 entiers a, b, a+p, b+p, divisé par le plus grand carré qui le divise, fournit un quotient ; dans une paire d’entiers dont le produit est un carré, ces quotients sont égaux. De ce fait, la relation “avoir pour produit un carré” est une relation d’équivalence, donc transitive. Le graphe d’une telle relation est constitué de cliques, m(p) étant le nombre de ses arêtes.
Si la clique ne couvre pas les 4 sommets, elle a au plus 3 arêtes ; si elle a plus de 3 arêtes, c’est la 4-clique à 6 arêtes.
Dans l’exemple de la question 1, le graphe est constitué des deux arêtes non adjacentes (p,9p) et (2p,8p).
Question 4
Je vais déterminer tous les nombresp pour lesquelsm(p) = 6.
Les 4 entiers a, b, a+p, b+p ont un même quotient q par le plus grand carré qui divise chacun. Ainsi
a=qx2, b=qy2, a+p=qz2, b+p=qt2, puis
p/q= (z−x)(z+x) = (t−y)(t+y), et commeaetbsont>0 et distincts, ces quatre facteurs de p/q sont distincts. En outre, dans chaque produit, les facteurs sont de même parité. Ainsip/q est impair ou multiple de 4.
Dans le premier cas,q est pair si pest pair non multiple de 4. Le nombre p, s’il est impair, ou p/2, si p est pair non multiple de 4, doit admettre 4 diviseurs distincts.
Sip/qest pair, les 4 facteursz±x, t±tsont pairs etp/(4q) doit admettre 4 diviseurs distincts.
Notonsv l’exposant de 2 dansp. La conditionm(p) = 6 se reformule en : (p/q)2−min(v,2) doit avoir au moins 4 diviseurs distincts.
On peut prendre q = 1 pour obtenir le plus petit nombrep; les premiers entiers satisfaisant la condition sont 15, 21, 24, 27, 30, 32, 35. . .
Le plus petit estp= 15, pour lequel le couple (a, b) = (1,49) convient.
Question 2
Je vais caractériser les entiers pour lesquelsm(p)<6.
Je remarque d’abord que si p est multiple de 8 et>16, les factorisations p= (p/2)2 = (p/4)4 fournissent les 4 diviseurs distincts pairs.
Si p admet deux facteurs impairs 1 < v < u < uv ≤ p, les 4 facteurs 1< v < u < uv conduisent de même au couple (a, b) donnant 6 carrés.
Pour les nombresp = 2wqs avec q premier, s= 1 ou 2, w <3, p·2−w a s+ 1≤3 diviseurs. On en tire une factorisation (z+x)(z−x) en facteurs impairs distincts. Aveca= 2wx2,a+p= 2wz2,b= 2w,m(p)≥3.
Ce sont les entiers (non puissances de 2) pour lesquelsm(p) = 3, le critère pourm(p) = 6 n’étant pas satisfait.
Reste à examiner les cas des puissances de 2 jusqu’à 16,
m(8) = 3 avec a= 1, b= 4 par exemple ;m(16) = 3 avec a= 9, b= 4 par exemple.
Si p = 1, 2 ou 4, supposons m(p) > 2. Le graphe défini à la question 3 comporte trois arêtes en triangle, reliant 3 des entiers a, a+p, b, b+p.
Deux d’entre eux ont une différencep, par exempleaeta+p. Leur produit est un carré, ils ont donc même quotient q par le plus grand carré qui les divise. Alorsp/q est différence des deux carrés (a+p)/q eta/q, mais c’est impossible car p/q= 1, 2 ou 4.
1, 2 et 4 sont les seuls entiers ppour lesquels m(p) = 2.
