Enoncé A333 (Diophante) Un chiffre à la trappe
Cet entier N de kchiffres (k >1) a les caractéristiques suivantes : 1) Il n’est pas divisible par 10.
2) Si l’on supprime l’un de ses chiffres à l’exception du premier chiffre de gauche, le nombre résultant est un diviseur de N.
Q1 : Démontrer que si N existe, le chiffre qui passe à la trappe est néces- sairement en deuxième position.
Q2 : Déterminer la plus grande valeur possible k0 de k.
Q3 : Pour chaque valeur de k variant de 2 à k0, donner la plus grande valeur possible de N.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soitble chiffre supprimé, au rangrà partir de la droite. AlorsN =AbC = A·10r+b·10r−1+C, où C est un nombre non nul de r−1 chiffres au plus, etA un nombre dek−r chiffres.
Par hypothèseN admet le diviseurD=AC =A·10r−1+C, avecN/D=q.
N−D= (9A+b)·10r−1=D(q−1) =C(q−1) +A(q−1)·10r−1, A(10−q) +b=C(q−1)·101−r, quantité comprise (strictement) entre 0 etq−1.
Siq <10,A+ 1≤(A+ 1)(10−q)≤(A+ 1)(10−q) +b <9, etA≤7 est un nombre d’un chiffre.
Siq >10, A≤A(q−10)< b≤9, etA≤8 est un nombre d’un chiffre.
C’est la preuve demandée par la question 1 de la propriétér=k−1.
On aN <(A+ 1)10k−1 et D > A·10k−2, d’où q <10(A+ 1)/A <20 et A(q−10)<10.
C(q−1) est multiple de 10r−1= 10k−2.
Siq−1 est multiple de 10,q = 11, b−A=C·103−k. On a donc k= 3, b = A+C, ce qui donne 36 solutions avec A entre 1 et 8, C entre 1 et 9−A.
Dans tous les autres cas, 10k−2 a deux facteurs divisant C etq−1 dont aucun n’est multiple de 10 ; l’un contient les puissances de 2 et l’autre les puissances de 5, avec des exposants dont le plus petit estk−2.
Du fait queq <20,q−1 est divisible au plus par 51ou 24; ainsik−2≤4, k0 = 6 est la limite demandée par la question 2.
Voir page suivante l’identification de tous les nombresN.
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Si k = 6, q−1 = 16, C est un nombre de 4 chiffres multiple impair de 54= 625. A <10/(q−10), d’oùA= 1.
La première possibilité est D = 10625, d’où N = 180625. La tentative suivante, avecD= 11875, ne convient pas car 17D= 201875.N = 180625 est la solution unique à 6 chiffres.
Sik= 5,q−1 = 8 ou 16,Cest un nombre de 3 chiffres multiple impair de 53 = 125. Pourq= 17 N = 19125 est seule solution ; pour q= 9 il y a 16 solutions : N = 10125, 12375, 14625, 16875, 21375, 23625, 25875, 30375, 32625, 34875, 41625, 43875, 50625, 52875, 61875, 70875.
Si k = 4, q−1 = 4, 8, 12 ou 16, C est un nombre de 2 chiffres multiple impair de 52 = 25. Pas de solution pour q= 17, deux (N = 1625 et 2925) pour q = 13 ; pourq = 9 il y a 8 solutions : N = 1125, 1575, 2025, 2475, 3375, 4275, 5175, 6075 ; pas de solution pour q= 5.
Si k= 3, les possibilités sont :
– le cas C = 5,q impair 6= 11 (6 solutions :N = 105, 135, 195, 225, 315, 405) ;
– le cas q= 6, C pair, qui donne la solutionN = 108 ; – le cas q= 16, C pair, qui donne la solutionN = 192.
– le cas q = 11 déjà vu, 36 solutions ; c’est lui qui fournit la plus grande solution, N = 891.
Sik= 2, les solutions sont les entiers de 11 à 19, les multiples de 11 jusqu’à 99, les multiples de 12 jusqu’à 48, 26, 28, 39. La plus grande solution est N = 99.
En résumé, 95 solutions se répartissant :
k 2 3 4 5 6
min 11 105 1125 10125 180625 max 99 891 6075 70875 180625
# 23 44 10 17 1
2
