A333 -Un chiffre à la trappe
Solution proposée par François Bulot
Notre nombre s'écrit AbC où A contient k1 chiffres avec k1>=1 ; b a 1 chiffre et C a k2 chiffres avec k2>=0
AC divise AbC.
Premier cas : k2=0 A divise Ab
A divise 10*A+b avec b>0 (car Ab n'est pas un multiple de 10)
Ab=11*A implique A=b, donc les nombres 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 et 99 Ab=12*A implique b=2A, donc les nombres : 12, 24, 36 et 48
Ab=13*A implique b=3A, donc les nombres : 13, 26 et 39 Les autres valeurs possibles sont : 14, 28, 15, 16, 17, 18 et 19 Dans tous ces nombres, b est en 2° position.
Second cas : k2>0
AC divise AbC avec C>0.
Notons d=AbC/AC
AbC est strictement compris entre A*10^(k+1) et (A+1)*10^(k+1) AC est strictement compris entre A*10^k et (A+1)*10^k
10*A/(A+1) < d < 10*(A+1)/A
A>=1, donc A/(A+1)>=1/2 et (A+1)/A<=2
Donc 5 < d < 20
d est compris entre 6 et 19 et différent de 10.
AbC-AC est un multiple de 10.
C ne se termine pas par un 0.
Si d=11, C peut finir par n'importe quel chiffre.
Si d=6 ou 16, alors C peut finir par n'importe quel chiffre pair.
Si d est impair autre que 11, alors C se termine par un 5.
Si d est pair, autre que 6 ou 16, alors il n'existe aucune valeur possible pour le dernier chiffre de C.
AbC=10^k*(10A+b)+C avec C<10^k AC=10^k*A+C
Si AbC>=11*AC, alors :
10^k*(10A+b)+C>=10^k*10A+10^k*A+10*C+C 10^k*b>=10^k*A+10*C
D'où b>A et A n'a qu'un chiffre
Si AbC<=9*AC, alors :
10^k*(10A+b)+C<=10^k*9A+8*C+C 10^k*(A+b)<=8*C
Or C<10^k, donc A+b<8 et A n'a qu'un chiffre.
Reste à tester chacune des valeurs possibles de d : 6, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 17 et 19
6) AbC=6*AC, alors :
10^k*(10A+b)+C=10^k*6A+5*C+C 10^k*(4A+b)=5*C
donc k=1, 2*(4A+b)=C : 108 (avec k>1, C est un multiple de 10)
7) AbC=7*AC, alors :
10^k*(10A+b)+C=10^k*7A+6*C+C 10^k*(3A+b)=6*C
donc k=1, C=5 ; 3A+b=3, donc A=1 et b=0 : 105
9) AbC=9*AC, alors :
10^k*(10A+b)+C=10^k*9A+8*C+C 10^k*(A+b)=8*C
C est un multiple de 10^k/8
Or C ne se termine par par 0, donc k<=3 et C est un multiple impair de 5^k
Si k=1, alors A+b=4
Si k=2, alors A+b=2 ou A+b=6
Si k=3, alors A+b=1 ou A+b=3 ou A+b=5 ou A+b=7
135, 225, 315, 405
1125, 2025, 1575, 2475, 3375, 4275, 5175, 6075
10125,12375,21375,30375,14625,23625,32625,41625,50625,16875,25875,34875,43875,5287 5,61875,70875
11) AbC=11*AC, alors :
10^k*(10A+b)+C=10^k*11A+10*C+C
10^k*b=10^k*A+10*C est équivalent à C=10^(k-1)*(b-A) Or C n'est pas un multiple de 10, donc k=1 et C=b-A AbC a 3 chiffres et b=A+C.
Ceci nous laisse 36 valeurs comprises entre 121 et 891 :
121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 231, 242, 253, 264, 275, 286, 297, 341, 352, 363, 374, 385, 396, 451, 462, 473, 484, 495, 561, 572, 583, 594, 671, 682, 693, 781, 792, 891
13) AbC=13*AC
10^k*10A+10^k*b+C>=10^k*10A+10^k*3A+12*C+C 10^k*(b-3A)=12*C
Avec k=1, C=5, b=9 et A=1 : 195 Avec k=2, C=25, b-3A=3 : 1625 et 2925
15) AbC=15*AC
10^k*10A+10^k*b+C>=10^k*10A+10^k*5A+14*C+C 10^k*(b-5A)=14*C
Au plus k=1 ; C=5 ; A=1 et b=12 : impossible
16) AbC=16*AC
10^k*10A+10^k*b+C>=10^k*10A+10^k*6A+15*C+C 10^k*(b-6A)=15*C
C est pair, donc k=1 2*(b-6A)=3*C
B-6A est un multiple de 3 : b=9 ; A=1 et C=2 : 192
17) AbC=17*AC
10^k*10A+10^k*b+C>=10^k*10A+10^k*7A+16*C+C 10^k*(b-7A)=16*C
Avec k=1, C multiple de 5, A>=1, on obtient b>=15 Avec k=2, C multiple de 25, b-7A=4x : pas de solution Avec k=3, C=125, b-7A=2 : 19125
Avec k=4, C=0625, b-7A=1 : 180625
19) AbC=19*AC
10^k*10A+10^k*b+C>=10^k*10A+10^k*9A+18*C+C 10^k*(b-9A)=18*C
b<=9, A>=1 et C>0, donc pas de solution
Les nombres possibles sont donc :
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 24, 26, 28, 33, 36, 39, 44, 48, 55, 66, 77, 88 et 99 105,108,121,132,135,143,154,165,176,187,192,195,198, 225,231,242,253,264,275,286,297, 315,341,352,363,374,385,396,405,451,462,473,484,495, 561,572,583,594, 671,682,693, 781,792, 891
1125, 1575, 1625, 2025, 2475, 2925, 3375, 4275, 5175, 6075 10125,12375,14625,16875,19125,
21375,23625,25875,30375,32625,34875,41625,43875,50625,52875,61875,70875 180625
k0=6
Les plus grandes valeurs de N pour k de 2 à 6 sont donc 99, 891, 6075, 70875 et 180625
