Enoncé A364 (Diophante) Les nombres miroirs
Pour tout entier positifn, soitf(n) – appelé miroir den– la représentation décimale du nombre obtenu en écrivant n en binaire puis en remplaçant tout chiffre 0 par 1 et vice-versa. Par exemple pour n= 17 dont la repré- sentation binaire est 10001, le “miroir” s’écrit 01110, soit f(n) = 14.
Q1 On s’intéresse aux entiersn tels quen est un multiple entierk de son miroir f(n).
– démontrer que l’entier k n’est jamais impair, – démontrer que pour tout entier k pair
1) il existe au moins un entier ntel quen=k.f(n) 2) il existe une infinité d’entiersn tels quen=k.f(n) Application numérique k= 24 etk= 2016
Q2 SoientS(n) la somme des entiers de 1 à nets(n) =
i=n
X
i=1
f(i) la somme des f(i) pourivariant de 1 à n,
– déterminer les entiers ntels que s(n) est un carré parfait.
– déterminer les entiers ntels que S(n) = 3s(n).
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Question 1
La somme n+f(n) s’écrit en binaire uniquement avec des 1 et est donc impaire ; l’un des nombresnetf(n) est impair, l’autre pair ; si le quotient n/f(n) =kentier, f(n) est impair etnetk pairs.
Soit c le nombre de chiffres de n en binaire, alors n+f(n) = 2c−1. Si n=kf(n), (k+ 1)f(n) = 2c−1.
Ainsicdoit être un multiple de l’ordre multiplicatif de 2 modulok+ 1. On a alors la solution n=k(2c−1)/(k+ 1), qui a bien cchiffres en binaire.
Par exemple, sik= 24,cdoit être multiple de 20, 25 divise 220−1 et on a les solutionsn= (220m−1)24/25, nombre de 20mchiffres en binaire. Par exemplen= 1006632, f(n) = 41943 pourm= 1.
Si k = 2016, le théorème de Fermat permet de prendre c = 2016 car 2017 =k+ 1 est un nombre premier. Mais l’ordre multiplicatif est 1008, et on a toutes les solutions par n= (21008m−1)2016/2017.
Question 2
Le calcul sur tableur de s(n) jusqu’à n= 255 (jusqu’à 8 bits en binaire) fournit comme plus petites réponses :
– carrés : 1 =s(2) =s(3), 4 =s(4), 25 = s(10), 64 =s(17), 100 =s(20), 441 =s(42), 1764 =s(84), 2601 =s(115), 7225 =s(170), 9025 =s(195) ; – rapportS(n)/s(n) = 3 : n= 2, 6, 14, 30, 62, 126, 254.
Pour aller au-delà, je cherche une expression explicite des(n).
Lemme : sins’écrit aveccchiffres en binaire,n(2c−1)−S(n)−s(n) =g(c), ne dépendant den que parc.
En effet, cette expression est
i=n
X
i=1
(2c−1−i−f(i)) ; seuls y contribuent les entiers ide m < c chiffres, en nombre 2m−1, et pour 2c−2m chacun.
Ainsi g(c) =
c−1
X
m=1
(2c+m−1 −22m−1). La sommation de ces progressions géométriques donne g(c) = (2c−1)(2c−2)/3.
Les premières valeurs ci-dessus suggèrent queS(n) = 3s(n) si et seulement si n= 2c−2. De fait, cette condition donne
(2c−1)(2c−2) = 3g(c) = 3n(2c−1)−3S(n)−3s(n) = 3n(2c−1)−4S(n) =
= 3n(2c−1)−2n(n+ 1), d’où
0 = 2n2−n(3·2c−5) + (2c−1)(2c−2) = (n−2c+ 2)(2n−2c+ 1), ce qui prouve le résultat annoncé.
La question des valeurs carrées des(n) n’est pas aussi simple queS/s= 3.
Une sous-famille apparaît néanmoins : s(n) = (n/2)2, avec une puissance de 4 pour 1 + 3n/2 (si c pair) ou 1 + 3n/4 (si c impair). L’équation est alors
6n2 = 24n(2c−1)−12n(n+ 1)−8(2c−1)(2c−2), soit
0 = 9n2−6n(2c+1−3) + 4(2c−1)(2c−2) = (2c+1−2−3n)(2c+1−4−3n), etnannule le premier ou le second facteur du membre de droite selon que c est pair ou non.
c h(c) 8u2+v2 n
2 9 8 + 1 2
3 57 32 + 25,8 + 49 4,3
4 281 200 + 81 10
5 1241 800 + 441,512 + 729 20,17
6 5209 3528 + 1681 42
7 21337 14112 + 7225,20808 + 529 84,115
8 86361 57800 + 28561,72200 + 14161 170,195
9 347481 231200 + 116281,346112 + 1369 340,492
10 1394009 930248 + 463761 682
11 5584217 3720992 + 1863225,4488008 + 1096209 1364,1523
12 22353241 14905800 + 7447441,20608200 + 1745041,13250952 + 9102289 2730,3434,2586
L’expression générale découlant du lemme
8s(n) = 8n(2c−1)−4n(n+ 1)−8(2c−1)(2c−2)/3
conduit à identifier 8s(n) + (2c+1−3−2n)2 à l’une ou l’autre des décom- positions 8u2+v2 du nombreh(c) = (2c+1−3)2+ 2
3 = 1 + 4g(c).
Cette méthode, qui ne se laisse pas mettre en formule générale, permet de trouver (laborieusement) les solutions autres que celles de la sous-famille, mais produit en outre des solutions parasites (non reprises dans le ta- bleau) : par exemple pour c = 8, 86361 = 8·82+ 2932 = 8·282+ 2832 donneraits(108) = 82,s(113) = 282, valeurs bien trop faibles car la fonc- tions(n) est croissante au sens large.
Dans le tableau ci-dessous, la première des formes 8u2+v2 correspond à la solutionu=n/2, v=n−(−1)c qui existe pour chaque valeur dec.
