A358 – Les bicolores [***] à la main]
Par convention un entier naturel est appelé "bicolore" s’il est écrit exclusivement avec deux chiffres a et b distincts, a pair > 0 et b impair.
Q₁ Donner une suite strictement décroissante de dix entiers bicolores inférieurs à 10⁶ et divisibles respectivement par les puissances successives de 2: 2 à 2¹⁰.
Q₂ Montrer que pour tout entier n positif, on sait trouver un entier bicolore divisible par 2n. Solution proposée par Jacques Guitonneau
Q₁
On cherche le plus petit entier bicolore multiple de 1024=2^10. On l'obtient en cherchant les bicolores de la forme 1024p avec p premier. Le premier obtenu est 111616 = 109*1024.
D'où la suite:
111616,223232,366336,444544,447744,494944,544544,555552,555556,555558
Q₂
On fait un raisonnement par récurrence avec l'hypothèse supplémentaire que l'entier bicolore N(n) qui est divisible par 2n contient exactement n chiffres. C'est évidemment vrai pour n=1,par exemple N(1) = 2 et pou n=2, N(2) = 12
Il s'agit de prouver qu'avec l'entier n + 1, on sait trouver N(n+1) divisible par 2n+1 Soient a chiffre pair et b chiffre impair avec lesquels N(n) est écrit.
On pose X = 10na + N(n) si N(n) = 0 modulo 2n+1 et X = 10nb + N(n) si N(n) = 2n modulo 2n+1 Il apparaît que X est un entier bicolore à n + 1 chiffres qui est divisible par 2n+1.
En effet dans le premier cas a étant pair 10na + N(n) = 0 + 0 = 0 modulo 2n+1 et dans le deuxième cas b étant impair, 10nb + N(n) = 2n + 2n = 2n+1 = 0 modulo 2n+1
On prend pour exemple a = 6 et b = 9 qui sont les deux chiffres utilisés dans la séquence A053338 de l'OEIS.
N(1) = 6, N(2) = 96, N(3) = 6*100 + 96 = 696.
Comme 696 = 8 modulo 16, N(4) = 9696.
Comme 9696 = 0 modulo 32, N(5) = 69696.
Comme 69696 = 0 modulo 64,N(6) = 669696 etc....
