A358 – Les bicolores
Par convention un entier naturel est appelé "bicolore" s’il est écrit exclusivement avec deux chiffres a et b distincts, a pair > 0 et b impair.
Q₁ Donner une suite strictement décroissante de dix entiers bicolores inférieurs à 10⁶ et divisibles respectivement par les puissances successives de 2 : 2 à 2¹⁰.
Q₂ Montrer que pour tout entier n positif, on sait trouver un entier bicolore divisible par 2n. Solution par Patrick Gordon
Q1
Comme la suite doit être strictement décroissante, il faut partir d'aussi haut que possible. Pour les diviseurs 2, 4, 8, on ne saurait trouver de solutions bicolores à 6 chiffres supérieures à 106 – 2, 106 – 4, 106 – 8 respectivement soit :
999 998 999 996 999 992
On ne peut pas procéder de même avec le diviseur 16 car 106 – 16 = 999 984 n'est pas bicolore.
Une bonne solution pour 16 est :
969 696
Mais ce dernier nombre bicolore est également divisible par 32; on ne peut pas le garder pour 32 dans la suite qui doit être strictement décroissante. Comme il semble malaisé de continuer "en descendant", on partira de 210 = 1024 avec un bicolore aussi petit que possible et l'on remontera.
Un tableur suggère que le plus petit bicolore ≤ 106 divisible par 1024 est 111616.
On recherchera ensuite au moyen du tableur le plus petit bicolore à 6 chiffres > 111616 divisible par 512 et ainsi de suite en "remontant" jusqu’à 16.
On trouve la solution suivante :
le nombre bicolore
divisé
par égale
999 998 2 499999
999 996 4 249999
999 992 8 124999
969 696 16 60606
494 944 32 15467
447 744 64 6996
444 544 128 3473
366 336 256 1431
223 232 512 436
111 616 1 024 109
Q2
Essayons d'abord les chiffres 1 et 2.
Soit N un entier formé de 1 et de 2, n le nombre de ses chiffres et k la puissance de 2 jusqu’à laquelle il est divisible par 2 (par commodité de langage on dira que N est "de puissance k").
Par construction, N = q2k avec q impair. Si l'on ajoute à N un nombre M tel que N = q'2k avec q' impair et tel que M+N soit bicolore, le nombre M+N est divisible par 2k+1 au moins.
Si n = k
Le nombre M = 10n = 5n2n (donc q'= impair) fait l'affaire. L'addition de M à N revient à faire précéder ce dernier d'un 1.
Exemple
N = 12 = 3×2² n = k = 2 M = 100
M+N = 112 = 7×24
Si n < k
Le nombre M = 10n ne fait pas l'affaire car il n'est divisible que jusqu’à 2n et son quotient impair 5n au rang n ne peut se combiner avec celui de N au rang k. Il faut donc que M = P.10n où P est un nombre bicolore de "puissance" (k – n), c’est-à-dire qu'il faut faire précéder N d'un nombre bicolore de "puissance" (k – n).
Exemple
N = 112 = 7×24 n = 3
k = 4 P = 2 M = 2000
M+N = 2112 = 33×26
Si n > k
On peut augmenter k en retranchant 1 des (n – k) chiffres de gauche de N si ce sont des 2 ou en ajoutant 1 aux (n – k) chiffres de gauche de N si ce sont des 1. Il semble même (constatation empirique) que l'on puisse augmenter k en intervertissant les 1 et les 2 dans les (n – k) chiffres de gauche de N (?).
Ce cas est d'ailleurs inutile dès lors que les deux premiers suffisent à calculer de proche en proche des nombres bicolores de puissance aussi élevée qu'on veut.
