Montrer que pour tout entier natureln,un6−n

TS 8 Interrogation 2A : Correction 16 septembre 2016 Exercice 1 :

On d´efinit la suite (un) par u0 = −1 et pour tout entier naturel n > 0 par u_n+1= 2u_n+n−1.

Montrer que pour tout entier natureln,u_n6−n.

Solution: Pour tout entier natureln, on appelleP(n) la propri´et´e :un6−n. Initialisation : u0=−1<0 et−1<0,P(0) est vraie.

H´er´edit´e : On suppose qu’il existe un entier naturel ntel que P(n) est vraie.

Montrons queP(n+ 1) est vraie.

P(n+ 1) s’´ecrit :un+16−n−1. Orun+1= 2un−n−1.

Par hypoth`ese de r´ecurrenceun6−n Donc 2un 6−2n

Donc 2un+n−16−2n+n−1

Doncun+16−n−1. DoncP(n+ 1) est vraie.

Conclusion : Il y a initialisation et h´er´edit´e, donc P(n) est vraie pour tout entier natureln.

En d´eduire la limite deu.

Solution: Pour tout entier natureln, un <−n, par le th´eor`eme de comparaison,

n→+∞lim un =−∞.

Exercice 2 :

D´eterminer la limite des suites suivantes : 1. wn =cos(n)

n .

Solution: Pour tout entiern,−16cos(n)61, donc −_n¹ 6 cos(n) n 6n¹.

n→+∞lim

−1 n

= lim

n→+∞

1

n

= 0. Par le th´eor`eme des gendarmes, lim

n→+∞wn= 0.

2. un = 2n−3 n²−5n+ 3

Solution: Pour toutn6= 0,u_n= n 2−_n³ n² 1−_n⁵ +_n³2

= 2−³_n

n 1−⁵_n+_n³2

. lim 2−_n³ = 2 et par produit lim

n→+∞nn 1−_n⁵ +_n³2

= +∞. Donc par quotient

n→+∞lim = 0.

3. vn= (−1)ⁿ+n

Solution: Pour tout entiern,−16(−1)ⁿ donc−1 +n < v_n. Comme lim

n→+∞(−1 +n) = +∞, par un th´eor`eme de comparaison lim

n→+∞v_n = +∞.

4. tn= 2ⁿ−5ⁿ

Solution: Pour tout entiern,tn = 5^{n 2}₅ⁿ

−1 .

n→+∞lim

2 5

ⁿ

= 0 donc par somme lim

n→+∞ ( ²₅ⁿ

−1

= −1 et comme

n→+∞lim 5ⁿ= +∞, par produit lim

n→+∞tn =−∞.