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Démontrer que, pour tout entier naturel n :

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Academic year: 2022

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(1)

PanaMaths Janvier 2016

Démontrer que, pour tout entier naturel n :

2 2

2 4 2

2

1 ... 1

1

n

e

n

e e e

e

+

− + + + + =

−

Analyse

Bien regarder la somme du membre de gauche est absolument indispensable pour démontrer l’égalité rapidement…

Résolution

Soit n un entier naturel.

La somme du membre de gauche comporte n+1 termes et peut être écrite :

( )

2

( )

2 4 2 2 2 2

1+ + + +e e ... e n= + +1 e e + +... e n

Nous avons donc affaire aux n+1 premiers termes d’une suite géométrique de raison e2 et il vient immédiatement :

( ) ( )

( )

( )

2 4 2 2 2 2 2

2 1

2 2 1

2 2 2

2

1 ... 1 ...

1 1

1 1

1 1

n n

n

n

n

e e e e e e

e e e

e e

e

+

+

+

+ + + + = + + + +

= −

−

= −

−

= −

−

Résultat final

2 2

2 4 2

2

, 1 ... 1

1

n

n e

n e e e

e

+ −

∀ ∈ + + + + =

` −

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