PanaMaths Septembre 2013
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, on a :
( )
0 1 2 1
1 2 × + × + × + + × 2 2 3 2 ... n 2
n−= − × + n 1 2
n1
Analyse
Une jolie somme qui s’exprime de façon assez compacte. Le raisonnement par récurrence ne pose pas de difficulté particulière.
Résolution
Pour tout entier naturel non nul n, on pose :
P
n : « 1 2× 0+ × + ×2 21 3 22+ + ×... n 2n−1=(
n− ×1)
2n+1 »Pour alléger un peu les notations, nous posons : Sn = × + × + × + + ×1 20 2 21 3 22 ... n 2n−1. Initialisation
Pour n=1, on a : Sn =S1= ×1 20= × =1 1 1.
Par ailleurs :
(
n− ×1)
2n+ = − × + = + =1(
1 1)
21 1 0 1 1. L’égalité est donc bien vérifiée.P
1 est donc vraie.Hérédité
Soit N un entier naturel non nul quelconque fixé. On suppose
P
N vraie. On suppose donc que l’on a : SN = ×1 20+ × + ×2 21 3 22+ + ×... N 2N−1=(
N− ×1)
2N +1 (hypothèse de récurrence).On veut montrer que
P
N+1 est vraie, c'est-à-dire :( )
0 1 2 1 1
1 1 2 2 2 3 2 ... 2N 1 2N 2N 1
SN+ = × + × + × + + ×N − + N+ × = ×N + + On a :
( )
( )
0 1 2 1
1 1 2 2 2 3 2 ... 2 1 2
1 2
N N
N
N N
S N N
S N
−
+ = × + × + × + + × + + ×
= + + ×
PanaMaths Septembre 2013
Soit, en tenant compte de l’hypothèse de récurrence :
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
1 2
1 2 1 1 2
1 1 2 1
2 2 1
2 1
N
N N
N N
N
N
N
S S N
N N
N N
N N
+
+
= + + ×
= − × + + + ×
=⎡⎣ − + + ⎤⎦× +
= × +
= × +
C’est exactement l’expression cherchée.
Ainsi,
P
N+1 est vraie.Conclusion
Pour tout entier naturel n non nul,
P
n est vraie.Résultat final
( )
0 1 2 1
*, 1 2 2 2 3 2 ... 2n 1 2n 1
n n − n
∀ ∈` × + × + × + + × = − × +
