Démontrer par récurrence, que pour tout n de , on a un 1

DEVOIR A LA MAISON N°3. TS.

Pour le mercredi 1er octobre 2014 Vous devez traiter au moins un des deux exercices.

I. On considère la fonction f définie sur \{ 2} par f(x) 4x 1

x 2 et la suite ( )^un définie par u0 5 et pour tout n de , un 1 f( )^{un .}

A. Etude de la fonction f.

1. Déterminer les limites de f en et + 2. Déterminer lim

x 2

f(x) et lim

x 2

f(x).

3. Construire le tableau de variation de la fonction f en faisant apparaître les limites.

B. Quelque démonstrations sur la suite ( )^{un .}

1. Démontrer par récurrence, que pour tout n de , on a u_n 1. [Aide : calculer f (1)]

2. Démontrer par récurrence que la suite ( )^un est décroissante.

C. Détermination d une formule explicite de u_n. Pour tout n de , on pose vn

1 un 1.

1. Montrer que la suite ( )^vn est arithmétique.

2. Exprimer v_n puis u_n en fonction de n.

3. Déterminer la limite de la suite ( )^{un .}

II. Soit ( )^un la suite définie par u0 1 ; u1

1

2 et, pour tout n de , un 2 un 1

1 4un. 1. Calculer u2.

2. Pour tout n de , on pose vn un 1

1 2un.

a. Montrer que la suite ( )^vn est géométrique de raison 1 2. b. Exprimer vn en fonction de n.

3. Pour tout n de , on pose w_n un

vn

. a. En utilisant l égalité un 1 vn

1

2un, exprimer wn 1 en fonction de un et vn puis en déduire que la suite ( )^wn est arithmétique.

b. Exprimer wn en fonction de n.

4. Montrer que pour tout n de , u_n 2n 1 2ⁿ . 5. Pour tout n de , on pose Sn 

k 0 n

uk = u0 u1 u2 ... un. Montrer par récurrence que, pour tout n de , Sn 2 2n 3

2ⁿ .

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°3. TS

I. f est définie sur \{ 2} par f(x) 4x 1

x 2 et ( )^un est définie par u₀ 5 et pour tout n de , un 1 f( )^{un .}

A. Etude de la fonction f.

1. Pour tout x de Df, f(x) x

 4 ¹

x x

 1 ²

x =

4 ¹ x 1 ² x

donc li m

x

f(x) = lim

x

f(x) = 4.

2. lim

x 2

4x 1 9 lim

x 2

x 2 = 0 avec x 2 0 si x 2 et x 2 0 si x 2 Alors lim

x 2

f(x) = et lim

x 2

f(x) = .

3. f est dérivable sur Df. Pour tout x de Df, f (x) 4(x 2) (4x 1)1

(x 2)² = 9

(x 2)² > 0.

On a donc le tableau de variations :

x 2 +

f (x) + +

f(x) +

4

4

B. Quelque démonstrations sur la suite ( )^{un .}

1. Initialisation : pour n0 0 : u0 5 1 donc la propriété est vraie pour n0 0.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que up 1. Montrons que up 1 1.

On a up 1

donc f( )^{up f}(1) car la fonction f est strictement croissante sur [1 ; + [. Or f(1) 1.

alors up 1 1

Conclusion : pour tout n de , un 1.

2. Montrons que la suite ( )^un est décroissante, c'est-à-dire que pour tout n de , un 1 un. Initialisation : pour n0 0 : u1 = f(5) 19

7 et u0 5 19

7 < 5 donc la propriété est vraie pour n0 0.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que up 1 < up. Montrons que up 2 up 1. On a 1 < up 1 < up

donc f(1) f(^up 1) f( )^up car la fonction f est strictement croissante sur [1 ; + [.

alors up 2 up 1

Conclusion : pour tout n de , un 1 un : la suite ( )^un est décroissante.

C. Détermination d une formule explicite de un. Pour tout n de , vn

1 un 1. 1. Soit n un entier naturel.

vn 1

1

un 1 1 = 1 4u_n 1

un 2 1

= 1

4u_n 1 u_n 2 un 2

= u_n 2 3un 3. vn 1 vn

un 2 3u_n 3

1

u_n 1 = un 2 3

3u_n 3 = un 1 3(^{un 1}) ⁼

1

3 donc la suite ( )^vn est arithmétique de raison 1

3 et de premier terme v0

1 5 1

1 4.

2. Pour tout n de , vn

1 4

1 3n et un

1 vn

1 = 1 1 4

1 3n

1 = 12

3 4n 1.

3. lim

n

un 1.

II. ( )^un est la suite définie par u0 1 ; u1

1

2 et, pour tout n de , un 2 un 1

1 4un. 1. u2 = u1 1

4 u0 3 4. 2. Pour tout n de , vn un 1

1 2un. a. vn 1 un 2

1

2un 1 = un 1

1 4un

1

2un 1 = 1 2un 1

1

4un = 1 2

 un 1 1

2un

= 1 2vn. La suite ( )^vn est donc géométrique de raison 1

2 et de premier terme v0 u1

1 2u0 1 b. Pour tout n de , vn = 

 1 2

n 1

2ⁿ. 3. Pour tout n de , wn

un

v_n. a. Soit n un entier naturel.

On a un 1 vn

1

2un et vn 1

1

2vn donc wn 1

un 1

vn 1

vn

1 2un

1 2vn

= 2 + un

vn

= 2 + wn.

La suite ( )^wn est donc arithmétique de raison 2 et de premier terme w0

1 1 1.

b. Pour tout n de , wn 1 2n.

4. Pour tout n de , wn

u_n vn

. Alors un wn vn (2n 1) 1 2ⁿ

2n 1 2ⁿ . 5. Initialisation : pour n0 0 : S0 u0 1 et 2 2 0 3

2⁰ 2 3 1 donc la propriété est vraie pour n0 0.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que Sp 2 2p 3

2^p . Montrons que Sp 1 2 2(p 1) 3 2^{p 1} . Sp 1 u0 u1 ... up up 1 Sp up 1 2 2p 3

2^p . 2(p 1) 1

2^{p 1} 2 2(2p 3)

2^{p 1}

2p 1 2^{p 1} 2 2p 5

2^{p 1} = 2 2(p 1) 3 2^{p 1}

Conclusion : pour tout n de , Sn 2 2n 3 2ⁿ .