PanaMaths
[1 - 2]Décembre 2006
Démontrer par récurrence que l’on a :
6 2 6 3 4 1
, 3
n4
n5
nn
+ + +∀ ∈ ` + + est un multiple de 13
Analyse
Une récurrence standard …
Résolution
On considère ici la propriété Pn « 36n+2+46n+3+54n+1 est un multiple de 13 ».
Pour n=0, on a : 36n+2+46n+3+54n+1=32+43+ = +51 9 64 5+ =78= ×6 13
.
P0 est donc vraie.
Supposons maintenant que, pour un entier naturel n quelconque fixé, Pn soit vraie, c’est à dire que 36n+2+46n+3+54n+1 soit un multiple de 13. On peut donc écrire : 36n+2+46n+3+54n+1=13k, où k est un entier naturel.
On s’intéresse à : 36(n+ +1) 2+46(n+ +1) 3+54(n+ +1 1) . On a :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
6 1 2 6 1 3 4 1 1 6 6 2 6 6 3 4 4 1
6 6 2 6 6 3 4 4 1
6 2 6 3 4 1
6 2 6 3 4 1
6 2 6 3 4 1
6 2
3 4 5 3 4 5
3 3 4 4 5 5
729 3 4096 4 625 5
728 1 3 4095 1 4 624 1 5
56 13 1 3 315 13 1 4 48 13 1 5
13 56 3 31
n n n n n n
n n n
n n n
n n n
n n n
n
+ + + + + + + + + + + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+
+ + = + +
= × + × + ×
= × + × + ×
= + × + + × + + ×
= × + × + × + × + × + ×
= ×⎡⎣ × + 5 4× 6n+3+48 5× 4n+1⎤⎦+36n+2+46n+3+54n+1 D’après l’hypothèse de récurrence, il vient alors :
( ) ( ) ( )
6 1 2 6 1 3 4 1 1 6 2 6 3 4 1
6 2 6 3 4 1
3 4 5 13 56 3 315 4 48 5 13
13 56 3 315 4 48 5
n n n n n n
n n n
k k
+ + + + + + + + +
+ + +
⎡ ⎤
+ + = ×⎣ × + × + × ⎦+
⎡ ⎤
= ×⎣ × + × + × + ⎦ On en conclut que 36(n+ +1) 2+46(n+ +1) 3+54(n+ +1 1) est également un multiple de 13.
PanaMaths
[2 - 2]Décembre 2006
La propriété Pn+1 est donc vraie.
Résultat final
6 2 6 3 4 1
, 3 n 4 n 5 n
n + + +
∀ ∈` + + est un multiple de 13.
