PanaMaths
[1 - 2]Décembre 2005
Soit n un entier naturel non nul.
Démontrer par récurrence que l’on a :
( )( )
2 2 2 2 2
1
1 2 1
1 2 3 ...
6
n i
n n n
i n
=
+ +
= + + + + =
∑
Analyse
Un grand classique, application directe du cours.
Résolution
Soit P
( )
n la propriété « 2 2 2 2 2( )( )
1
1 2 1
1 2 3 ...
6
n
i
n n n
i n
=
+ +
= + + + + =
∑
».Pour n=1, on a :
1
2 2
1
1 1
i
i
=
∑
= = et n n(
+1 2)(
6 n+1)
=1× + × × +(
1 1) (
6 2 1 1)
=1 2 3× ×6 =1. On a bien l’égalité, P 1( )
est donc vraie.Supposons maintenant que P
( )
n soit vraie, c’est à dire que l’on ait l’égalité :( )( )
2 2 2 2 2
1
1 2 1
1 2 3 ...
6
n
i
n n n
i n
=
+ +
= + + + + =
∑
Etudions P
(
n+1)
.On a :
( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
1 2 2 2 2 2 2
1
2 2 2 2 2
2
2
1 2 3 ... 1
1 2 3 ... 1
1 2 1
1 (d'après l'hypothèse de récurrence) 6
1 2 1 6 1
6
1 2 7 6
6
n
i
i n n
n n
n n n
n
n n n n
n n n
+
=
= + + + + + +
= + + + + + +
+ +
= + +
+ ⎡ ⎤
= ⎣ + + + ⎦
= + + +
∑
PanaMaths
[2 - 2]Décembre 2005
Pour obtenir une éventuelle factorisation de 2n2+7n+6, nous résolvons dans \ l’équation 2x2+7x+ =6 0.
On a : Δ =72− × × =4 2 6 49 48 1− = .
L’équation 2x2+7x+ =6 0 admet donc les deux solutions :
1
7 1 8
2 2 4 2 x = − − = − = −
× et 2 7 1 6 3
2 2 4 2
x = − + = − = −
×
On en déduit que le trinôme 2x2+7x+6 peut se factoriser comme suit :
( ) ( )( )
2 3
2 7 6 2 2 2 2 3
x + x+ = x+ ⎛⎜⎝x+2⎞⎟⎠= x+ x+ Finalement, on a :
( )( )
2n2+7n+ =6 n+2 2n+3 et :
( ) ( )( )( )
1 2 2 2 2 2 2
1
1 2 2 3
1 2 3 ... 1
6
n
i
n n n
i n n
+
=
+ + +
= + + + + + + =
∑
On remarque :
(
1)(
2 2)(
3) (
1) ( (
1)
1 2) ( (
1)
1)
6 6
n n n
n+ n+ n+ + + + + +
=
( )
P n+1 est donc vraie (la propriété P est vraie à l’ordre n+1).
Finalement, pour tout entier naturel n non nul, on a :
( )( )
2 2 2 2 2
1
1 2 1
1 2 3 ...
6
n
i
n n n
i n
=
+ +
= + + + + =
∑
Résultat final
( )( )
* 2 2 2 2 2
1
1 2 1
, 1 2 3 ...
6
n
i
n n n
n i n
=
+ +
∀ ∈`
