R AISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

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Chapitre

R AISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

R AISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

Le raisonnement par récurrence est un instrument qui permer de passer du ni à l'inni.

Henri Poincaré

Notons P(n) la proposition¹1 + 3 + 5 +. . .+ (2n+ 1) = (n+ 1)² pour n>0. P(0) est vraie puisque1 = (0 + 1)²

P(1) est vraie puisque1 + 3 = 4 = (1 + 1)² P(2) est vraie puisque1 + 3 + 5 = 9 = (2 + 1)²

Nous sommes alors tenter d'armer que cette proposition est vraie pour tout entier naturel.

Est-ce vraiment le cas ? Si oui, comment le prouver puisque nous ne pouvons pas faire une innité de vérications ?

Le raisonnement par récurrence va palier à ce problème et permettre de conclure qu'une propo- sition est vraie pour tout entier nen eectuant que deux vérications. Lesquelles ?

P

Pour démontrer par récurrence qu'une proposition P(n) est vraie pour tout entier natureln, on procède en trois étapes :

Première étape : l'initialisation On vérie queP(0)est vraie.

Deuxième étape : l'hérédité

On suppose queP(k) est vraie pour un certain entier k, et sous cette hypothèse², on démontre queP(k+ 1) est vraie.

Troisième étape : la conclusion Méthode 1.

1. Nous appelons proposition un énoncé, qu'il soit vrai ou faux.

LYCÉEBLAISEPASCAL

1

S.DELOBEL M.LUITAUD

2 Chapitre 2. Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence s'apparente au jeu de dominos.

Exercice 1

Démontrer par récurrence la proposition donnée dans l'introduction.

Exercice 2

Soit (un) la suite paru0 = 1 et pour tout entier natureln,un+1=√ un+ 2. Démontrer que (u_n) est croissante³.

Pour démontrer par récurrence qu'une propositionP(n) est vraie pour tout entier naturel n>n0 :

dans l'initialisation, au lieu de vérier queP(0)est vraie, on vérie queP(n0)est vraie ; dans l'hérédité, on suppose queP(k) est vraie pour un certain entier k>n₀.

Exercice 3

Soit (un) la suite paru1 = 1 et pour tout entier naturelnnon nul, un+1 = 2un+ 1. Démontrer que pour tout n>1,u_n= 2ⁿ−1.

Exercice 4

Soit (un) la suite paru0 = 0 et pour tout entier natureln,un+1=√ un+ 4. Démontrer que pour tout entiern6= 0,u_n>2.

Exercice 5

Démontrer⁴que pour tout entier natureln6= 0,1³+ 2³+ 3³+. . .+n³ = (1 + 2 + 3 +. . .+n)².

L'initialisation, souvent facile à démontrer, est une étape essentielle. Il ne faut surtout pas se contenter de prouver l'hérédité.

Exercice 6

Soit P(n) la proposition 7ⁿ+ 1est un multiple de 6 .

Prouver queP(n) est héréditaire et pourtant elle n'est pas vraie pour tout n.

2. Cette hypothèse est appelée hypothèse de récurrence.

3. Une suite(un)est dite croissante si pour tout entiern,un6un+1

4. On rappelle que pour tout entier natureln6= 0,1 + 2 + 3 +. . .+n=n(n+ 1)

2 .