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Question 1 : a) VRAI b) FAUX c) FAUX d) FAUX

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Texte intégral

(1)

CONCOURS DE RECRUTEMENT D’ELEVES PILOTE DE LIGNE

ANNEE 2010

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Partie I

Question 1 : a) VRAI b) FAUX c) FAUX d) FAUX

Explication 1 :

On sait que(M3(R),+, .)est unRespace vectoriel de dimension9. En particulier,(M3(R),+)est un groupe commutatif.

Donc a) est vrai et c) est faux.

On sait que(M3(R),×) n’est pas un groupe et que (M3(R),+,×) est un anneau non commutatif. Donc b) et d) sont faux.

Question 2 : a) FAUX b) FAUX c) VRAI d) FAUX

Explication 2 :

a)La multiplication d’une matrice par un réel n’est pas une loi de composition interne et donc a) est faux.

c) et d)E=Vect(E1,1+E2,2, E3,3, E1,2+E2,1, E1,3+E2,3, E3,1+E3,2). Donc Eest un sous-espace vectoriel de M3(R) ce qui équivaut au fait queEest non vide et stable par combinaison linéaire. c) est vrai et d) est faux.

b)(E1,1+E2,2)(E1,3+E2,3) =E1,3+E2,3 et (E1,3+E2,3)(E1,1+E2,2) =06=E1,3+E2,3. Donc, si×est interne dansE,

×n’est pas commutative dansE. b) est faux.

Question 3 : a) VRAI b) FAUX c) FAUX d) VRAI

Explication 3 :

a) et b)Il est clair queFest contenu dansE. Ensuite,F=Vect(E1,1+E1,2+E2,1+E2,2, E3,1+E3,2, E1,3+E2,3, E3,3)et doncFest un sous-espace vectoriel deE. Donc a) est vrai et b) est faux.

c) et d) Si (E,+,×) est un anneau,(E,+,×)n’est pas commutatif et donc c) est faux. Ensuite, au gré des différents programmes officiels, il a été imposé à un sous-anneau de contenir l’élément neutre de la multiplication de l’anneau ou non. Il semblerait qu’en ce moment, ce soit le cas et on parie donc que d) est vrai.

(2)

a) FAUX b) VRAI c) FAUX d) VRAI

Explication 4 :

a)rg

1 1 0 1 1 0 0 0 1

=2et donc a) est faux.

b)Les colonnesC1 etC2deNsont égales. Donc rg(N) =rg(C1, C2, C3) =rg(C1, C3)62. b) est vrai.

c)Siα=δ=γ=ε=0, alors rg(N) =0et donc c) est faux.

d)En supprimant des lignes ou des colonnes égales à d’autres lignes ou d’autres colonnes, on obtient

rg(N) =rg

α α γ α α γ δ δ ε

=rg

α α γ δ δ ε

=rg

α γ δ ε

.

Si maintenantαε−γδ=0, cette dernière matrice est une matrice carrée de format(2, 2)non inversible et donc de rang inférieur ou égal à1. Donc d) est vrai.

Question 5 : a) FAUX b) FAUX c) FAUX d) FAUX

Explication 5 :

a)D’après la question 4.a), il est possible que rg(N) =2et donc que dim(Ker(fN)) =1. Donc a) est faux.

b)Siα=δ=γ=ε=0,N=0 puis dim(Ker(fN)) =3. Donc b) est faux.

c)Siαε−γδ6=0, la question 4.d) montre queNest de rang 2et donc dim(Ker(fN)) =1. c) est faux.

d)Si Ker(fN)contient D, il est nécessaire queα+α+0 =0et doncα=0. Donc siα=1, Ker(fN)ne contient pas D.

d) est faux. On note néanmoins que Ker(fN)contient toujours Vect((1,−1, 0)).

Question 6 : a) FAUX b) FAUX c) VRAI d) FAUX

Explication 6 :

On sait que Im(fN) =Vect(f(e1), f(e2), f(e3))où(e1, e2, e3)est la base canonique deR3. Posonsv=e1+e2puisu= 1

√2v.

Puisque f(e1) = f(e2) =αv+δe3 et f(e3) =γv+εe3, Im(fN)est contenu dans le plan P =Vect(v, e3) dont une base orthonormale est

e3, 1

√2v

= (e3, u). Donc c) est vrai. d) est faux car la base fournie n’est pas orthonormale.

Pest bien sûr le plan d’équationx=y. Le vecteur(0, 1, 0)n’est pas dansPet puisque Im(f)⊂P, a) et b) sont faux.

(3)

Question 7 : a) VRAI b) FAUX c) VRAI d) FAUX

Explication 7 : Pour toute matrice N de F, Im(fN) est contenue dans le plan P = Vect(e3, v) qui est encore le plan d’équationy=x. De plus, il existeN∈Ftel que rg(N) =2et dans ce cas, Im(fN) =P. Donc il existe un plan et un seul répondant aux contraintes de l’énoncé à savoir le planP. d) est faux.

SoitN∈F.fN(e3) =γv+εe3∈PetfN(v) =2αv+2δe3∈P. DoncPest stable parfNpuisgNest bien un endomorphisme deP.

ϕ(aN1+bN2) =gaN1+bN2 =faN1+bN2/P= (afN1+bfN2)/P=aϕ(N1) +bϕ(N2).ϕest une application linéaire deF versL(P).

SoitN∈F. ϕ(N) =0⇒gN =0⇒fN(v) =fN(e3) =0⇒γv+εe3=2αv+2δe3=0⇒α=δ =γ= ε=0⇒N =0.

Doncϕest injective. a) est vrai et b) est faux.

PuisquePest stable par chaquefN, ϕ(N1N2) = (fN1N2)/P = (fN1)/P◦(fN2)/P=ϕ(N1)◦ϕ(N2). c) est vrai.

Question 8 : a) FAUX b) FAUX C) FAUX D) VRAI

Explication 8 : a) et b)Les coefficients lignes et colonnes 1 et 2 de toute matrice deF sont égaux. Donc a) et b) sont faux.

c) et d)Une base deFest(E1,1+E1,2+E2,1+E2,2, E3,1+E3,2, E1,3+E2,3, E3,3). Donc dim(F) =4=dim(L(P))<+∞. Puisqueϕest linéaire et injective de FdansL(P),ϕ est un isomorphisme deFsurL(P). c) est faux et d) est vrai.

Question 9 : a) FAUX b) VRAI c) FAUX d) FAUX

Explication 9 :

Soit N ∈ F. Une base orthonormale de P est B = (u, e3) où u= 1

√2(e1+e2). fN(u) = 1

√2 ×2(α(e1+e2) +δe3) = 2αu+√

2δe3 etfN(e3) =√

2γu+εe3. La matrice degN dans la base orthonormaleBest doncM=

2α √

√ 2γ 2δ ε

. PuisqueBest orthonormale,gN est une isométrie dePsi et seulement siMest une matrice orthogonale ou encore si et seulement siMest de la forme

a −b

b a

ou de la forme

a b b −a

aveca2+b2=1.

Siα= 1

2,δ=γ=0et ε=1, alorsM=In et donc d) est faux. Siα=γ=δ=ε=0,M=0 et donc a) est faux. Enfin,

gN ∈O(P)⇔



2+2δ2=1 ε=2α

√2δ= −√ 2γ

ou



2+2δ2=1 ε= −2α

√2δ=√ 2γ





22= 1 ε=2α 2 δ= −γ

ou





22= 1 ε= −2α 2 δ=γ

.

Donc b) et c) sont faux.

(4)

a) VRAI b) FAUX c) FAUX d) FAUX

Explication 10 : a)Dans ce cas,M=

1/√

2 1/√ 2 1/√

2 −1/√ 2

.gAest donc une isométrie négative dePc’est-à-dire une réflexion. Donc a) est vrai et b) et c) sont faux.

gN est la réflexion par rapport à la droite d’équation 1

√2x+ 1

√2y=xou encorey= (√

2−1)x ou enfinx= (√

2+1)y.

Cette droite est engendrée par le vecteur de coordonnées(√

2+1, 1)et donc d) est faux.

Partie II

Question 11 : a) VRAI b) FAUX c) VRAI d) FAUX

Explication 11 :

a) et b)f est de classeCsurIen tant que quotient de fonctions de classeC surIdont le dénominateur ne s’annule pas surI. a) est vrai et b) est faux.

c) et d)Pour x∈I,f(x) = 1+x

1+x−ln(1+x)

(1+x)2 = 1−ln(1+x)

(1+x)2 . Donc c) est vrai et d) est faux.

Question 12 : a) FAUX b) FAUX c) FAUX d) FAUX

Explication 12 :

Le signe de f est celui de 1−ln(1+x). Donc f est strictement positive sur ] −1, e−1[ et strictement négative sur ]e−1,+∞[puisfest strictement croissante sur] −1, e−1]et strictement décroissante sur[e−1,+∞[. Par suite, tout est faux.

Question 13 : a) FAUX b) FAUX c) VRAI d) FAUX

Explication 13 :On note néanmoins que lim

x−1f(x) = −∞et lim

x+

f(x) =0. Donc c) est vrai et d) est faux.

f(0) =1 et donc la tangente àCfen(0, 0)a pour équationy=x. a) est faux. Ensuite, pourx∈I, f′′(x) = − 1

1+x× 1

(1+x)2+ (1−ln(1+x))× −2

(1+x)3 = 2ln(1+x) −3 (1+x)3 .

(5)

f′′ s’annule en changeant de signe en e3/2−1 avecf(e3/2−1) = 3/2

e3/2 = 3e−3/2

2 . Donc b) est faux.

Question 14 : a) VRAI b) FAUX c) FAUX d) VRAI

Explication 14 :

a)Soitλ>0. La fonctionfest continue et positive sur[0,+∞[et doncaλ>0. a) est vrai.

b), c) et d)Si on poset=ln(1+x)alorsdt= 1

1+xdxpuisf(x)dx=t dt. Mais alorsaλ=

Zln(1+λ)

ln(1+0)

t dtet b) est faux puisaλ= 1

2ln2(1+λ)et aλ tend vers+∞quandλtend vers+∞. c) est faux et d) est vrai.

Question 15 : a) VRAI b) FAUX c) VRAI d) FAUX

Explication 15 :

a) et b)Soituune fonction dérivable sur un intervalleJ, ne s’annulant pas surJ. Une primitive de la fonction u u surI est ln|u|+K. a) est vrai et b) est faux.

c) et d)SurI,(H)équivaut à l’équationy+ 1

1+xy=0. Puisque la fonctionx7→ 1

1+x est continue surI, les solutions de(H)surIconstituent unR-espace vectoriel de dimension1. La fonctionx7→ 1

1+x est bien sûr une solution non nulle de(H)surIet donc les solutions de(H)surIsont les fonctions de la formex7→ K

1+x,K∈R. c) est vrai et d) est faux.

Question 16 : a) FAUX b) FAUX c) FAUX d) FAUX

Explication 16 :

a) et b) SoitC une fonction dérivable sur R\ {−1} puis yla fonction qui à xde I associe C(x)

1+x. Pour x∈ I, y(x) = C(x)× 1

1+x+C(x)× −1

(1+x)2. a) et b) sont faux.

Ensuite, y(x) + 1

1+xy(x) =C(x)× 1

1+x +C(x)× −1

(1+x)2+ C(x)

(1+x)2 = C(x)× 1

1+x. Puisque d’autre part, y est solution de(E)surR\ {−1}, pourx∈R\ {−1}, on aC(x)× 1

1+x =y(x) + 1

1+xy(x) = 1

(1+x)2 (et donc c) est faux) puisC(x) = 1

1+x puisC(x) =ln(1+x) +k, oùk est une constante sur] −∞,−1[et sur] −1,+∞[. Donc d) est faux.

(6)

a) FAUX b) VRAI c) FAUX d) FAUX

Explication 17 :

kest une fonction constante sur] −∞,−1[et aussi sur] −1,+∞[mais pas nécessairement surR\ {−1}. En tenant compte de l’ambiguïté de l’énoncé, on parie que b) est vrai et le reste est faux.

Question 18 : a) FAUX b) FAUX c) FAUX d) VRAI

Explication 18 :

La méthode de la variation de la constante à fourni une solution particulière de (E) sur R\ {−1} à savoir la fonction x7→ ln|1+x|

1+x . Les solutions de(E)surR\ {−1}s’écrivent donc

y(x) =





ln(1+x) 1+x + k1

1+xsix >−1 ln(−(1+x))

1+x + k2

1+xsix <−1

,(k1, k2)∈R2.

Donc a), b) et c) sont faux (mais il semble que c) soit faux à cause d’une faute de frappe). Enfin, la fonctionx7→ ln(1+x) 1+x est solution de(E)surI et s’annule en0. Puisque les fonctions x7→ 1

1+x et x7→ 1

(1+x)2 sont continues sur I, on sait qu’une telle solution est unique et d) est vrai.

Question 19 : a) FAUX b) FAUX c) VRAI d) FAUX

Explication 19 : a)g(x) =

Xn

k=1

(−1)k−1xk

k +o(xn). a) est faux.

b)h(x) = Xn

k=0

(−1)kxk+o(xn). b) est faux.

c) et d)

f(x) =g(x)h(x) = Xn

k=1

(−1)k−1xk k

! n X

k=0

(−1)kxk

!

+o(xn) = Xn

k=1

 Xk

p=1

(−1)k−p(−1)p−1 p

xk+o(xn)

= Xn

k=1

(−1)k−1

 Xk

p=1

1 p

xk+o(xn).

c) est vrai et d) est faux.

(7)

Partie III

Question 20 : a) FAUX b) VRAI c) FAUX d) FAUX

Explication 20 : Pour p ∈ N, up = ln

1+ 1

p

. Il est connu que ∀x > 0, ln(1 +x) < x (inégalité de convexité). Donc ∀p ∈ N, 0 < up< 1

p 61. a), c) et d) sont faux et b) est vrai.

Question 21 : a) VRAI b) FAUX c) FAUX d) VRAI

Explication 21 :Pour k >1, ak = Xk

p=1

1 p >

Xp

k=1

(ln(p+1) −lnp) =ln(k+1) (somme télescopique). Donc b) est faux.

D’autre part,ak6 Xk

p=1

1=ket a) est vrai.

Puisque lim

k+

ln(k+1) = +∞et que∀k∈N,ak>ln(k+1), on a lim

k+

ak= +∞. d) est vrai et c) est faux.

Question 22 : a) FAUX b) FAUX c) FAUX d) VRAI

Explication 22 :

Pn(x) = Xn

k=1

(−1)k−1xk

k + (−1)n−1anxn+1=x+ Xn

k=2

(−1)k−1(ak−ak−1)xk+ (−1)n−1anxn+1

=x+ Xn

k=2

(−1)k−1akxk+ Xn

k=2

(−1)kak−1xk+ (−1)n−1anxn+1

=x+ Xn

k=2

(−1)k−1akxk+

n−1X

k=1

(−1)k+1akxk+1+ (−1)n−1anxn+1= Xn

k=1

(−1)k−1akxk+ Xn

k=1

(−1)k−1akxk+1

= (1+x) Xn

k=1

(−1)k−1akxk= (1+x)Sxn.

Donc d) est vrai et le reste est faux.

Question 23 :

a) FAUX

b) FAUX

c) VRAI

d) FAUX

(8)

a) et b)Soientx >−1et n>1.

In(x) = (−1)n−1 Zx

0

tn+tn−1−tn−1

1+t dt= (−1)n−1 Zx

0

tn−1+ (−1)n−2 Zx

0

tn−1

1+t dt= (−1)n−1xn

n +In−1(x).

Donc b) est faux. Ensuite,I1(x) =x+I0(x) =x−ln(1+x). Or,P1(x) =x+a1x2=x+x2et donc a) est faux.

c) et d)In(x) =I0(x) + Xn

k=1

(Ik(x) −Ik−1(x)) = −ln(1+x) + Xn

k=1

(−1)k−1xk

k =Pn(x) + (−1)nanxn+1−ln(1+x). Donc c) est vrai et d) est faux.

Question 24 : a) FAUX b) FAUX c) FAUX d) VRAI

Explication 24 :

Soientx∈] −1, 1[ etn∈N. Si x>0,

|In(x)|= Zx

0

tn 1+t dt6

Zx

0

tndt= xn+1 n+1, et six60,

|In(x)|= Z0

x

|t|n 1+t dt6

Z0

x

|t|n

1+x dt= 1 1+x

Z|x|

0

tndt= |x|n+1 (n+1)(1+x). Donc d) est vrai. Ensuite, I1(x) = x−ln(1+x) et en particulier lim

x−1I1(x) = +∞. Donc a) et c) sont faux. Enfin,

I1 1

2

= 1

2−ln(1.5) =0, 094 . . .et 1

2 2

2×3 2

= 1

12 =0, 083 . . . <

I1 1

2

. Donc b) est faux.

Question 25 : a) VRAI b) FAUX c) VRAI d) FAUX

Explication 25 :

a) et b) Soit x∈] −1, 1[. D’après la question 21, pour n ∈ N,

anxn+1

6 n|x|n+1. Comme|x|< 1, un théorème de croissances comparées permet d’affirmer que, pour tout réelα,nαxn+1tend vers0. Donc a) est vrai et b) est faux.

c) et d) D’après la question 24,In(x)tend vers 0 quand ntend vers+∞. Mais alors, d’après la question 23.c),Pn(x) tend vers ln(1+x)puisSxn= Pn(x)

1+x tend vers ln(1+x)

1+x d’après la question 22.d). c) est vrai et d) est faux.

Partie IV

Question 26 :

a) FAUX

b) VRAI

c) FAUX

d) FAUX

(9)

Explication 26 :

Un polynôme donta,bet csont racines estP= (X−a)(X−b)(X−c) =X3− (a+b+c)X2+ (ab+bc+ca)X−abc= X3−σ1X22X−σ3. Donc b) est vrai et le reste est faux

Question 27 : a) FAUX b) FAUX c) FAUX d) FAUX

Explication 27 :

•σ11.

•α21−α2= (a+b+c)2− (a2+b2+c2) =2(ab+ac+bc) =2σ2 et doncσ2= 1

2(α21−α2). b) et d) sont faux.

• L’égalité P(a) +P(b) +P(c) = 0 fournit (a3+b3+ c3) −σ1(a2+b2+c2) +σ2(a+b+ c) −3σ3 = 0 et donc 3σ32α1−σ1α23. a) et c) sont faux.

On en déduit encoreσ3= 1 3

1

2(α21−α21−α1α23

.

Question 28 : a) FAUX b) VRAI c) VRAI d) FAUX

Explication 28 :

a) et b)Puisqueα12etα3sont réels, il en est de même deσ12et σ3. Donc le polynômeP= (X−a)(X−b)(X−c) est dansR[X]. a) est faux et b) est vrai,

c) et d)puis c) est vrai et donc d) est faux.

Question 29 : a) VRAI b) FAUX c) FAUX d) FAUX

Explication 29 :

Ou bien le polynôme P admet une racine réelle et deux racines non réelles conjuguées, ou bien trois racines réelles. La première situation est impossible car les modules des racines sont deux à deux distincts. Donc a) est vrai et b), c) et d) sont faux.

Partie V

Question 30 :

a) VRAI

b) FAUX

c) FAUX

d) VRAI

(10)

Explication 30 :Il est connu que pour tout réelx∈[−1, 1],f(x) =

2. Donc a) et d) sont vrais et b) et c) sont faux.

On en rappelle une démonstration.fest continue sur[−1, 1], dérivable sur] −1, 1[au moins et pour tout réelxde] −1, 1[, f(x) = 1

√1−x2 − 1

√1−x2 =0. Donc fest constante sur] −1, 1[ puis sur[−1, 1]par continuité def en−1 et1. On en déduit que pour tout réelxde[−1, 1],f(x) =f(0) = π

2.fest en particulier dérivable sur [−1, 1]

Question 31 : a) FAUX b) FAUX c) FAUX d) FAUX

Explication 31 :Tout est faux d’après la question précédente.

Question 32 : a) VRAI b) FAUX c) VRAI d) FAUX

Explication 32 :

a)La fonctionf1 : x7→Arcsin√

xest définie et continue sur[0, 1]. Doncg1est définie et de classeC1sur[0, 1]etg1 =f1. De même,g2est de classeC1 sur[0, 1] etg2 =f2oùf2est la fonctionx7→Arccos√x. a) est vrai et d) est faux.

b)Pour x∈[0, 1],g1(x) =Arcsin√

xetg2(x) =Arccos√x. Puisque g1(x) ∼

x0+

√x,g1 n’est pas dérivable en0 et donc b) est faux.

c)Par contre,x7→√

xest de classeC sur]0, 1[ à valeurs dans]0, 1[et les fonctions Arcsin et Arccos sont de classeC sur]0, 1[. Donc g1 et g2 sont de classeCsur]0, 1[. Il en est alors de même deg1etg2. c) est vrai.

Question 33 : a) FAUX b) VRAI c) VRAI d) FAUX

Explication 33 :

a)Commeg1etg2ne sont pas de classeCsur[0, 1], la raison invoquée est insuffisante pour affirmer quehest de classe C sur[0, 1]. a) est faux.

b)La fonctionx7→sin2xest (de classeC surRet en particulier) de classeC1 surRà valeurs dans[0, 1]et la fonction g1est de classeC1sur[0, 1]. Donc la fonctionx7→g1(sin2x)est de classeC1surR. De même, la fonctionx7→g2(cos2x) est de classeC1 surRet finalement hest de classeC1 surR. b) est vrai et d) est faux.

c)La question 36 montre quehest constante sur Ret donc c) est vrai.

Question 34 : a) FAUX b) FAUX c) FAUX d) FAUX

Explication 34 :hest paire et π-périodique. Donc tout est faux.

(11)

Question 35 : a) VRAI b) FAUX c) FAUX d) FAUX

Explication 35 :

Pour tout réelx,h(x) =2sinxcosxg1(sin2x) −2sinxcosxg2(cosx) =sin(2x)Arcsin(√

sin2x) −sin(2x)Arccos(√ cos2x).

Donc a) est vrai.

Six∈h 0,π

2

i, on a sinx>0puis√

sin2x=sinxpuis Arcsin(√

sin2x) =Arcsin(sinx) =xtoujours puisque x∈h 0,π

2 i⊂ h−π

2,π 2

i. De même, six∈h 0,π

2

i, Arccos(√

cos2x) =xet finalement∀x∈h 0,π

2

i,h(x) =0. Donc d) est faux. b) est faux car pour x∈ i

0,π 2

i, Arcsin(√

sin2x) +Arccos(√

cos2x) =x+x =2x 6= 0. Enfin, Arcsin r

sin2

−π 2

=Arcsin1 = π

2 6= −π 2.

Question 36 : a) VRAI b) FAUX c) FAUX d) VRAI

Explication 36 : a)Ainsi, pour x∈h

0,π 2

i,h(x) =0. Donch est constante sur h 0,π

2

i puis sur h

−π 2,π

2

i puisque h est paire puis surR carhestπ-périodique. a) est vrai

b), c) et d)Pour tout réelx, on a alors h(x) =hπ

4 =g1

1 2

+g2

1 2

= Z1/2

0

(Arcsin√

t+Arccos√ t)dt=

Z1/2

0

π

2 dt= π 4. d) est vrai car

Z1/2

0

f(x)dx= Z1/2

0

π

2 dt= π

4 et b) et c) sont faux.

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