Vous devez traiter un des deux sujets. Sujet A. Pour sentraîner. I.

(1)

DEVOIR A LA MAISON N°3 2

^nde

6.

Pour le jeudi 12 octobre 2017.

Vous devez traiter un des deux sujets.

Sujet A. Pour s entraîner.

I. Développer : A (2x 1)² B (3x 2)² C

(

² ¹

)

²

D

(

1 2

) (

1 2

)

E

(

² ²

)

²

F (1 2x)² (1 2x)² G (x 2)² (2x 1)²

II. EFG est un triangle rectangle en E. [EK] est la hauteur issue de E.

M est un point quelconque de la droite (FG) et La parallèle à (EF) passant par M coupe (EK) en L.

1. Justifier que L est l ort hocentre du t ri angle EMG. 2. Montrer que les droites (LG) et (EM) sont perpendiculaires.

III. On dit que des points sont cocycliques s il existe un cercle passant par ces points.

1. Deux points A et B sont-ils toujours cocycliques ? 2. Trois points A,B et C sont-ils toujours cocycliques ?

3. A, B, C et D sont quatre points tels que les triangles ABC et ABD sont rectangles respectivement en C et D. Montrer que les quatre points A, B, C et D sont cocycliques.

Sujet B. Pour chercher.

Pour ce sujet, toutes les traces de recherche doivent figurer sur la copie.

Vous pouvez demander de l aide si vous êtes bloqués sur une question.

I. F est une fonction définie sur . On sait que pour tout n de , F(n) , F(n) n et F(F(n)) 3n. Dét erminer F(6).

II. Définition : La distance d un point à une droite est la distance entre le point et son projeté orthogonal sur la droite :

Sur la figure ci-contre, la distance du point A à la droite d est la distance AH.

Dans un repère orthonormal, on donne les points A(2 0), B(6 0), C(0 3) et D(0 5). Mont rer que l es points A et D sont équidistants de la droite (BC).

Aide : utiliser des aires.

(2)

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°3 2

^nde

6.

I. Développer :

A (2x 1)² (2x)² 2 2x 1 1² 4x² 4x 1 B (3x 2)² (3x)² 2 3x 2 2² 9x² 12x 4

C

(

² ¹

)

²

(

²

)

² ² ² ¹ ^1² ² ^{2 2} ¹ ³ ^{2 2}

D

(

¹ ²

) (

¹ ²

)

^1²

(

²

)

² ¹ ¹ ¹

E

(

² ²

)

² ^{2² 2 2} ²

(

²

)

² ^{4 4 2} ² ^{6 4 2}

F (1 2x)² (1 2x)²

(

1² 2 1 2x (2x)²

) (

1² 2 2x 1 (2x)²

)

1 4x 4x² 1 4x 4x² 8x² 2

G (x 2)² (2x 1)² (x² 2 x 2 2²)

(

(2x)² 2 2x 1 1 ²

)

(x² 4x 4) (4x² 4x 1) x² 4x 4 4x² 4x 1 3x² 8x 3

II. (ML) est parallèle à (EF) et (EF) est perpendiculaire à (EG) donc (ML) est perpendiculaire à (EG).

(EK) est une hauteur du triangle EFG donc (EK) est perpendiculaire à (FG).

Dans le triangle EMG :

(ML) est perpendiculaire à (EG) donc (ML) est la hauteur issue de M.

(EK) est perpendiculaire à (MG) donc (EK) est la hauteur issue de E.

Les hauteurs (EK) et (ML) se coupent en L donc L est l orthocentre du triangle EMG.

Ainsi, (GL) est la troisième hauteur du triangle EMG et elle est donc perpendiculaire au côté [EM].

III. On dit que des points sont cocycliques s il existe un cercle passant par ces points.

1. Deux points sont toujours cocycliques car on peut toujours tracer un cercle passant par les deux points (par exemple le cercle de diamètre [AB]).

2. Trois points sont cocycliques ssi ils ne sont pas alignés :

Si A, B, C sont alignés, on ne peut pas tracer un cercle passant par A, Bet C.

Sinon, le cercle circonscrit au triangle ABC passe par A, B et C donc les points sont cocycliques.

3. ABC est rectangle en C donc il est inscrit dans le cercle de diamètre [AB] : C est un point du cercle de diamètre [AB].

ABD est rectangle en D donc il est inscrit dans le cercle de diamètre [AB] : D est un point du cercle de diamètre [AB].

Les quatre points A, B, C et D appartiennent tous au cercle de diamètre [AB]. Ils sont donc cocycliques.

Sujet B. Pour chercher.

I.

F(F(0)) 3 0 0 et F(F(0)) F(0) donc 0 F(0), avec F(0) entier naturel. Ainsi, F(0) 0.

F(F(1)) 3 1 3 et F(F(1)) F(1) 1 donc 3 F(1) 1. F(1) est donc égal à 1 ; 2 ou 3.

Si F(1) 1 : F(F(1)) F(1) 1. Or on a F(F(1)) 3 1 3  1. Alors F(1) 1.

Si F(1) 3 : F(F(1))=F(3) et F(F(1)) 3 1 3. On a donc F(3) 3 et donc F(F(3)) F(3). Mais F(F(3)) 3 3 9  3. Alors F(1)  3.

On a donc F(1) 2.

Alors F(2) F(F(1)) 3 1 3 F(3) F(F(2)) 3 2 6 F(6) F(F(3)) 3 3 9

(3)

II. Cherchons la distance du point A à la droite (BC), c'est-à-dire la distance AE sur la figure ci-contre :

Aire(ABC) AB CO 2

4 3

2 6

D autre part, Air e(ABC) AE BC 2 On a donc AE BC

2 6 et donc AE 12

BC

De la même façon, cherchons la distance du point D à la droite (BC), c'est-à- dire la distance DF sur la figure ci-contre :

Aire(BCD) CD OB 2

2 6

D autre part, Air e(BCD) BC DF 2 Ainsi,BC DF

2 6 et donc DF 12

BC

On a donc AE DF, c'est-à-dire que la distance du point A à la droite (BC) et la distance du point D à la droite (BC) sont égales : les p oints A et D sont équidistants de la droite (BC).