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telles que, pour tout entier naturel n, on ait :

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

PanaMaths Janvier 2012

On considère deux suites ( ) u

n

et ( ) v

n

telles que, pour tout entier naturel n, on ait :

( )

0 1

0 1

lim 1

n n n n n

u v

→+∞

u v

≤ ≤

≤ ≤

= Que peut-on dire des suites ( ) u

n

et ( ) v

n

?

Analyse

« Evidemment », on ne sait rien de la convergence éventuelle des suites considérées … En revanche, les inégalités fournies constituent des aides très précieuses et doivent nous conduire à essayer d’encadrer un et vn.

Résolution

Comme tous les termes de la suite

( )

un sont positifs, on a, pour tout entier naturel n : 0≤vn≤ ⇒ ≤1 0 u vn nun

Comme la suite

( )

un est majorée par 1, il vient :

, n n n 1

n u v u

∀ ∈` ≤ ≤ Comme lim

(

n n

)

1

n u v

→+∞ = , le théorème des gendarmes nous permet de conclure : lim n 1

n u

→+∞ = De façon similaire, on montre que l’on a :

lim n 1

n v

→+∞ =

(2)

PanaMaths Janvier 2012

Résultat final

Si les suites

( )

un et

( )

vn vérifient :

( )

0 1

0 1

lim 1

n n n n n

u v

→+∞ u v

≤ ≤

≤ ≤

=

alors, on a :

lim n lim n 1

n u n v

→+∞ = →+∞ =

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