PanaMaths Janvier 2012
On considère deux suites ( ) u
net ( ) v
ntelles que, pour tout entier naturel n, on ait :
( )
0 1
0 1
lim 1
n n n n n
u v
→+∞
u v
≤ ≤
≤ ≤
= Que peut-on dire des suites ( ) u
net ( ) v
n?
Analyse
« Evidemment », on ne sait rien de la convergence éventuelle des suites considérées … En revanche, les inégalités fournies constituent des aides très précieuses et doivent nous conduire à essayer d’encadrer un et vn.
Résolution
Comme tous les termes de la suite
( )
un sont positifs, on a, pour tout entier naturel n : 0≤vn≤ ⇒ ≤1 0 u vn n≤unComme la suite
( )
un est majorée par 1, il vient :, n n n 1
n u v u
∀ ∈` ≤ ≤ Comme lim
(
n n)
1n u v
→+∞ = , le théorème des gendarmes nous permet de conclure : lim n 1
n u
→+∞ = De façon similaire, on montre que l’on a :
lim n 1
n v
→+∞ =
PanaMaths Janvier 2012
Résultat final
Si les suites
( )
un et( )
vn vérifient :( )
0 1
0 1
lim 1
n n n n n
u v
→+∞ u v
≤ ≤
≤ ≤
=
alors, on a :
lim n lim n 1
n u n v
→+∞ = →+∞ =