1. Montrer que, pour tout entier n tel que n > 0, l’int´ egrale I n = Z +∞

Lyc´ ee Dominique Villars Exercices ECE 2

Estimation statistique - Comparaisons d’estimateurs ponctuels

Soit un r´ eel a ∈ R ^∗ + .

1. Montrer que, pour tout entier n tel que n > 0, l’int´ egrale I _n = Z +∞

0

x ⁿ e ^{− x}

2

2a

dx est convergente.

2. (a) Rappeler la densit´ e d’une variable qui suit la loi normale N (0, a ² ).

(b) En d´ eduire : I 0 = a p π/2.

(c) Calculer la d´ eriv´ ee de l’application ϕ : R → R d´ efinie, pour tout x ∈ R , par : ϕ (x) = e ^{− x}

2

2a

(d) En d´ eduire : I ₁ = a ² .

3. (a) Montrer, pour tout entier n. tel que n > 2 et pour tout t ∈ [0; +∞[ : Z t

0

x ⁿ e ⁻

2

2a2

dx = −a ² t ⁿ⁻¹ e ⁻

2

2a2

+ (n − 1) a ² Z t

0

x ⁿ⁻² e ⁻

2 2a2

dx (b) En d´ eduire, pour tout entier n tel que n > 2 : I _n = (n − 1) a ² I n−2 .

(c) Calculer I ₂ et I ₃ .

On consid` ere l’application g _a : R → R d´ efinie, pour tout x ∈ R , par : g a (x) =

( 0 si x 6 0 x

a ² e ⁻

2

2a2

si x > 0 4. Montrer que g a est une densit´ e.

On consid` ere une variable al´ eatoire X admettant g a comme densit´ e.

5. D´ eterminer la fonction de r´ epartition de la variable al´ eatoire X.

6. Montrer que la variable al´ eatoire X admet une esp´ erance E (X) et que E (X) = a r π

2 7. Montrer que la variable al´ eatoire X admet une variance V (X) et calculer V (X).

Soit un entier n tel que n > 2. On consid` ere n variables al´ eatoires ind´ ependantes X ₁ , X ₂ · · · , X _n suivant toutes la mˆ eme loi que la variable al´ eatoire X.

9. On consid` ere la variable al´ eatoire A _n =

√ 2 n √

π (X ₁ + X ₂ + · · · + X _n ).

(a) Montrer que la variable al´ eatoire A _n , est un estimateur sans biais de a.

(b) D´ eterminer le risque quadratique de l’estimateur A _n . On d´ efinit la variable al´ eatoire M n = min (X 1 , X 2 · · · , X n ).

1. (a) Montrer, pour tout t ∈ [0, +∞[ : P (M _n > t) = e ^{− nt}

2

2a

. (b) En d´ eduire la fonction de r´ epartition de M _n .

(c) Montrer que M _n est une variable al´ eatoire continue de densit´ e g _b avec b = a

√ n . (d) D´ eterminer alors E (M n ) et V (M n ).

11. (a) En d´ eduire un estimateur B n , sans biais de a, de la forme λ n M n avec λ n ∈ R . (b) D´ eterminer le risque quadratique de l’estimateur B _n .

Exercice 1 (EML 2012).

1

Soit X de loi uniforme sur [0, a] et (X 1 , X 2 , . . . , X n ) un ´ echantillon de variables. Le but de l’exercice est d’effectuer une estimation du param` etre a. Soit X _n la moyenne empirique de l’´ echantillon.

1. Soit T n = 2X n . Montrer que T n est un estimateur sans biais de a et d´ eterminer son risque quadratique.

2. Soit T _n ⁰ = max(X ₁ , . . . , X _n ).

(a) D´ eterminer la fonction de r´ epartition de X puis celle de T _n ⁰ .

(b) En d´ eduire sa densit´ e puis son biais et son risque quadratique en tant qu’estimateur de a.

3. Soit T ” n = n + 1

n T _n ⁰ . D´ eterminer le biais et le risque quadratique de T” n . 4. Quel est le meilleur estimateur de a pour de grandes valeurs de n ?

Exercice 2 (Comparaison d’estimateurs de a dans le mod` ele de la loi uniforme sur [0,a).

Etant donn´ e λ > 0, on consid` ere une variable al´ eatoire X de densit´ e f λ d´ efinie sur R par f _λ (t) =

e ^λ−t si t > λ 0 sinon

On d´ esire estimer la valeur du param` etre λ en se basant sur un ´ echantillon X 1 , X 2 , . . . , X n de n observations ind´ ependantes de la variables X. Pour cela on consid` er les variables al´ eatoires

X _n = 1 n

n

X

i=1

X _i M _n = min(X ₁ , . . . , X _n )

1. D´ eterminer les valeurs de l’esp´ erance et de la variance de la variable X puis celles de X _n . 2. D´ emontrer que la variable M n est une variable continue de densit´ e g n d´ efinie par

g n (t) =

ne ^n(λ−t) si t > λ 0 sinon

3. En d´ eduire les valeur de E(M _n ) et de V (M _n ).

4. En d´ eduire deux estimateurs sans biais T _1,n et T _2,n du param` etre λ.

5. Calculer le risque quadratique de chacun de ces deux estimateurs. Lequel des deux semble ˆ etre le plus efficace pour de grandes valeurs de n ?

Exercice 3 (Estimation dans un mod` ele ”exponentiel translat´ e”).

Soient X 1 , . . . , X n variables al´ eatoires ind´ ependantes suivant la mˆ eme loi de Poisson de param` etre λ.

1. On pose S _n = P n

k=1 X _k et X _n = S _n /n.

Rappeler la loi de S n puis montrer que X n est un estimateur de λ sans biais et convergent 2. On pose θ = P (X = 0) = e ^−λ et on cherche un estimateur sans biais du param` etre θ.

(a) Calculer l’esp´ erance et le biais de T _n = exp −X _n )

, estimateur de θ.

(b) On consid` ere la variable al´ eatoire θ b n =

1 − 1 n

S

. i. Montrer que θ b n est un estimateur sans biais de θ.

ii. Calculer la variance de θ b _n et montrer que θ b _n est un estimateur de θ convergent.

Exercice 4 (Estimation dans un mod` ele poissonien).

2