E xercice 7. SoientXetY deux variables aléatoires indépendantes telles queXsuit une loi exponentielle de paramètre λ >etY suit une loi géométrique de paramètrep. CalculerP(X > Y).

(1)

X  – MAP 

PC  – Lundi  avril  – Variables aléatoires réelles Corrigé des que ions non abordées en PC

Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

Corrigé des exercices non traités surhttp:// www.normalesup.org/ ˜ kortchem/ MAPun peu après la PC.

 Variables aléatoires réelles indépendantes

E ^{xercice 7.}

^Soient^Xêt^Y deux variables aléatoires indépendantes telles queXsuit une loi exponentielle de paramètre λ >etY suit une loi géométrique de paramètrep. CalculerP(X > Y).

Corrig´e :

On applique la formule des probabilités totales avec le syème complet d’événements ({Y=k}:k≥) :

P(X > Y) =X

k≥

P(X > Y , Y =k).

Or on a l’égalité des événements{X > Y , Y =k}={X > k, Y =k}. Donc, en utilisant l’indépendance deXetY :

P(X > Y) =X

k≥

P(X > k, Y =k) =X

k≥

P(X > k)P(Y=k) =X

k≥

e⁻^λkp(−p)^k⁻^

Ainsi,

P(X > Y) =pe⁻^λX

k≥

e⁻^λ(−p)k−

= pe⁻^λ

−e⁻^λ(−p)= p e^λ+p−

E ^{xercice 8.}

^Soient^Xêt^Y deux variables aléatoires indépendantes telles queXsuit une loi exponentielle de paramètre λ >etY suit une loi exponentielle de paramètreµ >. Identifier la loi de la variable aléatoire min(X, Y).

Corrig´e :

SoitZ= min(X, Y). CalculonsP(Z > u) pouru∈R. Siu <, on aP(Z≥u) =. Siu≥, on a, par ind´ependance deXet deY :

P(Z > u) =P(X > u, Y > u) =P(X > u)P(Y > u) =e⁻^λue⁻^µu=e⁻^(λ+µ)u. Ainsi, pour toutu∈R,

P(Z≤u) =











 siu <

−e⁻^(λ+µ)u siu≥.

On reconnaˆıt la fonion de répartition d’une loi exponentielle de paramètre λ+µ, et comme la fonion de répartition caraérise la loi d’une variable aléatoire réelle, on en déduit queZ suit une loi exponentielle de pa-

ram`etreλ+µ.

Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.



(2)

 Plus appliqu´e (hors PC)

E xercice 10.

Le cycle d’un feu de circulation ele suivant : le feu evert sur l’intervalle [, v] et rouge sur ]v, v+r] avec v, r >. L’inant d’arrivéeU de Zoé esupposé uniformément réparti sur le cycle [, r+v].

() Exprimer en fonion deU le temps d’attenteT de Zoé au feu dans le cas o ù aucun vehicule ne se trouve devant le feu à l’inant o ù elle arrive.

() Déterminer la fonion de répartition de T. E-ce une variable aléatoire discrète ou à densité ?

Corrig´e :

() On aT = (v+r−U)1v≤U≤v+r

() On aP(T <) =,P(T ≤x) =P(T =) +P(< T ≤x) =^v+x_v+r pour< x≤r. La variable aléatoireT n’edonc ni à densité (car sa fonion de répartition n’e pas continue) ni discrète (car elle e continueriement croissante sur sur [, r].

E xercice 11.

(Particule dans un puit de potentiel, loi d’Arrhénius et loi de Pareto) On considère une particule dans un puit de potentiel de barrière d’énergieEpositive. La loi d’Arrhénius donne le temps de sortieτ(E) en fonion deE de la particule hors du puit d û aux fluuations thermiques :

τ(E) =τ_e^kBT^E .

Ici, la conante τ_ e un temps de référence caraériique,T e la température absolue, et kB e la conante de Boltzmann. On suppose que la barrière edécrite par une variable aléatoireX de loi exponentielle de paramètreλ=

/E_, o ùE_eune énergie de référence. Le temps de sortie de la particule ealors une variable aléatoire notéeY : Y :=τ(X),

o `uτ(x) =τ_e^kBT^x .

() D´eterminer la loiY.

() Montrer que pour toutt⁰>on a limt→+∞P(Y > t+t⁰|Y > t) =. Interpr´eter ce r´esultat.

Remarque.la loi deY ela loi de Pareto. C’eune loi de puissance qui a des applications non seulement en physique mais aussi en sciences sociales, en geion de qualit´e, etc.

Corrig´e :

() D´eterminons la fonion de r´epartition deY. On aP(Y≤x) =pourx < τ_, et pourx≥τ_: P(Y ≤x) =P

τ_e

X kBT ≤x

=P X≤kBTln x τ_

!!

=−e⁻^λk^B^T^ln

_x

τ

=− τ_

x ^kBT_E

 .

AinsiYeune variable aléatoire à densité, et une densitéf_Y e f_Y(x) =α τ_^α

x^α+^1x≥τ_, o `uα=^k_E^B^T

 .

On remarque que si la température tend vers,αtend vers également. Il en ede même siE_tend vers l’infini.

() D’apr`es le calcul de la fonion de r´epartition deY, pour toust, t⁰≥τ_on a P(Y > t+t⁰|Y > t) = +t⁰

t

!⁻α

−→

t→∞ .



(3)

Si la particule ere´ee dans le puit de potentiel trop longtemps, la probabilit´e qu’elle y demeure eproche de.

Remarque.Pourα >, le temps moyen de sortie du puit vaut E[Y] = ατ_

α−.

Par contre,< α≤, on aE[Y] =∞! Donc, si la temp´erature eassez basse, la particule met un temps moyen infini pour sortir du puit. On pourrait s’attendre `a ce que cela soit le cas quandT =seulement.

E xercice 12.

(Détruquer une pièce) On dispose d’une pièce truquée qui renvoiepileavec une probabilitépet on souhaite s’en servir pour générer un pile ou face équilibré. John von Neumann a imaginé l’algorithme suivant :

Lancer la pièce

Lancer la pièce Lancer la pièce pile

face pile

face

face pile

Renvoyer

“face”

Renvoyer

“pile”

DEBUT

FIN

On noteT ∈ {,,, . . .}la variable aléatoire donnée par le nombre de lancers nécessaires pour que l’algorithme se termine, etR∈ {pile,face}le résultat de l’algorithme.

() Que valentT etRsi on obtient comme premiers tiragesP P P P FFP P P FFP? () D´emontrer que pour toutk≥,

P(T =k) = (p^+ (−p)^)^k⁻^p(−p), en d´eduire que l’algorithme se termine presque-s ˆurement :P(T <+∞) =.

() Démontrer que l’algorithme renvoie bien pile ou face avec même probabilité, c’e-à-dire que P(R =

pile) =/.

() D´emontrer queE[T] =_p(_^−p).

Corrig´e :

() L’algorithme revient au début dès qu’on lit deux résultats identiques à la suite. Dans cet exemple, on trouve doncT =etR=face.

() Notons (Xi)i≥ une suite i.i.d. de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètrep(on modélise un résultatpileau i-ième lancer parXi=). Calculons d’abordA=P(X_=X_) etB=P(X_,X_).

On a

A=P(X_=, X_=) +P(X_=, X_=) =p^+ (−p)^, B=−A=p(−p).

On a alors

P(T =k) =P

X_=X_, X_=X_, . . . , X_k−=X_k−, X_k−,X_k . Par ind´ependance, on en d´eduit

P(T =k) =A^k⁻^B= (p^+ (−p)^)^k⁻^p(−p).

CommeP

k≥P(T =k) =, on a bienP(T <∞) =.



(4)

() D’apr`es la formule des probabilit´es totales,

P(R=pile) =X

k≥

P(T =k, X_k=) =X

k≥

A^k⁻^P(X_k−=)P(X_k=) =p(−p)

−A .

DoncP(R=pile) =/. CommeP(R=pile) +P(R=face) =, le r´esultat s’ensuit.

() Soit Y la variable aléatoire telle que P(Y=k) = (p^+ (−p)^)^k⁻^p(−p) pour k ≥ . Il s’agit d’une loi géométrique de paramètrep(−p), doncE[Y] =_p(^₋_p). Ainsi,

E[T] =X

k≥

kP(T =k) =E[Y] =  p(−p).

E xercice 13.

(Générer une loi uniforme avec des variables de Bernoulli)Soit X_, X_, . . .des variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre/. On poseZ=P^∞

k=⁻^kX_k. () On note

D=











n

X

k=

i_k

^k :n≥, i_, . . . , in∈ {,}











l’ensemble des nombres dyadiques de [,], qui sont denses dans [,]. SoitYune variable aléatoire à valeurs dans [,] dont la fonion de répartitionF_Y vérifieF_Y(t) =tpour toutt∈ D. Montrer queY eune variable aléatoire uniforme sur [,].

() Montrer que pour tousi_, . . . , ip∈ {,}on a P

X_=i_, . . . , Xp=ip

=P





 Z∈







p

X

i=

ij⁻^j,

p

X

j=

ij⁻^j+⁻^p











 .

En d´eduit que queZeune variable al´eatoire uniforme sur [,].

() Réciproquement, montrer que siY eune variable aléatoire uniforme sur [,], alors les bits de son écriture en baseforment une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre/.

() Que se passe-t-il en baseb≥avec la loi uniforme sur{, . . . , b−}?

Corrig´e :

() Soitx∈[,[ et montrons queFY(x) =x. Par densit´e deDdans [,], il exie une suite d´ecroissante (dn)n≥

d’éléments deDtels que dn →x. Comme FY e continue à droite en x, on adn =FY(d_n)→FY(x). Donc F_Y(x) = x. On montre de même que F_Y(−) = (o ù F_Y(−) e la la limite à gauche de F_Y en ). Comme

≥F_Y()≥F_Y(−) =, on en d´eduit queF_Y() =.

() La première partie de la queion découle du fait qu’avec probabilitéune infinité deapparaissent dans la suite (X_n)_n≥et que

X

k≥n+

tk

^k < X

k≥n+



^k = 

ⁿ

pour toute suite (tk)k≥n+ `a valeurs dans{,}qui prend au moins une fois la valeur.

Notons

D_n=









 Xn

k=

tk

^k :t_, . . . , t_n−∈ {,}ett_n=









 .

Montrons par récurrence forte surnque pour toutt∈ D_non aP(Z≤t) =t. Pourn=, on a bienP(Z≤/) = P(X_=) =/. Supposons que le résultat eacquis pour les éléments deD_k,≤k≤net montrons le pour



(5)

les ´el´ements de D_n+. Tout d’abord,P(Z≤/^n+) = P(X_=, . . . , X_n+=) = /^n+. Ensuite, choisissons t=Pm

k= t_k

^k +_n+^ ∈ D_n+avec≤m < nett_m=. Alors, d’apr`es la premi`ere partie de la queion, P(Z≤t) =P





 Z≤

m

X

k=

tk

^k







+P(X_=t_, X_=t_, . . . , Xm=tm, Xm+=, . . . , Xn=) Donc, par hypoth`ese de r´ecurrence,

P(Z≤t) =P





 Z≤

Xm k=

t_k

^k





 + 

ⁿ = Xm k=

t_k

^k+ 

ⁿ =t.

Ceci clôt la récurrence et conclut grâce à la queion ().

() Ceci se démontre en utilisant la même idée que la queion (), voir l’exemple ..du poly pour plus de détails.

() Les mˆemes r´esultats sont satisfaits avecZ=P^∞

k=b⁻^kXk et (Xk)k≥ des variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur{,, . . . , b−}.

Remarque.Il peut se produire un phénomène surprenant lorsqueb≥et lesX_nne sont pas de loi uniforme sur {, . . . , b−}. Un exemple célèbre e fourni par l’escalier du diable, qui correspond à la fonion de répartitionF_Y quandb=et les (Xn)n≥sont indépendantes de même loi donnée parP(X_=) =P(X_=) =/etP(X_=) =.

Dans ce cas,FY eune fonion continue, dérivable presque partout (au sens de la mesure de Lebesgue) de dérivée nulle, qui e connue sous le nom d’escalier du diable (voir la Figure ci-dessous ethttp://fr.wikipedia.org/

wiki/Escalier_de_Cantor). Dans ce cas,Y n’epas à densité (sa loi emême singulière par rapport à la mesure de Lebesgue).

 Pour aller plus loin (hors PC)

E xercice 14.

(Support d’une loi) SoitXune variable al´eatoire r´eelle.

() On suppose que pour toutA∈ B(R), on aP(X∈A)∈ {,}. Montrer queXepresque-s ˆurement conante (c’e-

`a-dire qu’il exiec∈Rtel queP(X=c) =).

() On suppose que l’ensemble{P(X∈A), A∈ B(R)}e dénombrable. Montrer que p.s.X ne peut prendre qu’un nombre dénombrable de valeurs (c’e-à-dire, il exie un ensemble dénombrableΓ tel queP(X∈Γ) =).

Corrig´e :

() Soitc= sup{x∈R:P(X≤x) =}. CommeP(X≤x)→lorsquex→ −∞etP(X≤x)→lorsquex→ ∞, on



(6)

ac∈R. V´erifions queP(X=c) =. Par d´efinition dec, pour toutn≥, on aP(X∈[c−/n, c+/n]) =. Donc

=P





 X∈\

n≥

[c−/n;c+/n]







=P(X=c).

() Soit F_X la fonion de répartition de X. CommeF_X e croissante, elle a au plus un nombre dénomrable de points de discontinuités. Notons (x_i)_i∈I les points de discontinuité de F_X etp_i =P(X=x_i) pouri∈I, et considérons la variable aléatoireY à valeurs dans{x_i:i∈I}telle queP(Y=x_i) =p_i pouri∈I. Vérifions que XetY ont la même loi.

Pour cela, notonsFY la fonion de répartition de Y. D’après l’hypothèse, et comme Y ne prend qu’un nombre dénombrable de valeurs possibles, l’ensemble{FX(x)−FY(x) :x∈ R}e dénombrable. OrFX−FY

e continue. Si F_X−F_Y n’e pas conante, alors d’après le théorème des valeurs intermédiaires F_X−F_Y prendrait un nombre non dénombrable de valeurs possibles,ce qui eabsurde. DoncF_X−F_Y econante.

Comme lim−∞(F_X−F_Y) =, on en d´eduit queF_X=F_Y.

Ainsi,XetY ont mˆeme loi, et doncP(X∈Γ) =, avecΓ ={x_i:i∈I}.

E xercice 15.

^{(Une que}ion de mesurabilité) Soit (Ω,A) un espace probabilisable et (A_i)_i≥ un syème complet d’événements (on rappelle que cela signifie queA_i∈ Apour touti≥, que∪_i_≥_A_i =Ωet queA_i∩A_j=∅sii,j).

On considère l’applicationX:Ω→N^∗définie parX(ω) =i, o ùietel queω∈A_i. Montrer queXeune variable aléatoire (N^∗ étant dénombrable, on le munit naturellement de la tribuP(N^∗)).

Corrig´e :

SoitB⊂N^∗. Alors, par d´efinition,

X⁻^(B) =[

i∈B

A_i∈ A,

comme union finie ou dénombrables d’éléments deA.

E xercice 16.

(Exemple d’ensemble non mesurable)SoitPla loi d’une variable aléatoire uniforme sur [,π] (muni de la tribu borélienne sur [,π]). On voit [,π] comme le cercle unitéSen identifiant les deux pointsetπ. Choisissons α >tel queα/(π) soit irrationel, et notonsRαla rotation d’angleαsur le cercle, définie parRα(eîθ) =eî(θ+α). On note R⁽ⁿ⁾α la composéen-ième deR_αpourn∈Z.

Siz∈S, l’orbite dezepar d´efinition l’ensemble{R⁽ⁿ⁾α (z) :n∈Z} ⊂S. Commeα/(π) eirrationnel, on peut montrer que toutes les orbites sont infinies (et mˆeme denses).

Notons (O_i)_i∈I l’ensemble des orbites, et en utilisant l’axiome du choix choisissons pour touti∈I un repr´esentant z_i ∈O_i. Posons finalement

E={z_i:i∈I}. () Montrer queS=S

n∈ZR⁽ⁿ⁾α (E) et que cette union edisjointe.

() En supposant queEemesurable, aboutir `a une contradiion.

Corrig´e :

() Siz∈S, il exiei∈Itel quez∈ O_i. Ainsizedans l’orbite dezi, et il exie donck∈Ztel quez∈R^(k)α (zi). Donc z∈R^(k)α (E), et doncS⊂S

n∈ZR⁽ⁿ⁾α (E). Comme l’inclusion inverse eclaire, on a ´egalit´e des deux ensembles.

Pour montrer que l’union edisjointe, raisonnons par l’absurde en supposant quex∈R^(m)α (E) etx∈R⁽ⁿ⁾α (E) avecm,n. Il exie alorsi, j∈Itels quex=R^(m)α (zi) =R⁽ⁿ⁾α (zj). Donczietzjsont dans la mˆeme orbite, et donc i=j. Mais alorsz_i =R^(mα ⁻ⁿ⁾(z_i), ce qui contredit le fait que les orbites sont infinies.



(7)

() SiE ´etait mesurable, on aurait

=P(E) =X

n∈Z

P

R⁽ⁿ⁾α (E)

.

Or pour toutn∈Zon aP(R⁽ⁿ⁾α (E)) =P(E) car la loi uniforme sur le cercle einvariante par rotations. Ceci nous am`ene `a une contradiion.



E xercice 7. SoientXetY deux variables aléatoires indépendantes telles queXsuit une loi exponentielle de paramètre λ >etY suit une loi géométrique de paramètrep. CalculerP(X > Y).

X  – MAP 

PC  – Lundi  avril  – Variables aléatoires réelles Corrigé des que ions non abordées en PC

 Variables aléatoires réelles indépendantes

E xercice 7.

E xercice 8.

 Plus appliqu´e (hors PC)

E xercice 10.

E xercice 11.

E xercice 12.

E xercice 13.

 Pour aller plus loin (hors PC)

E xercice 14.

E xercice 15.

E xercice 16.

E ^{xercice 7.}

E ^{xercice 8.}