Q2−Montrer que pour tout entiernpositif, on sait trouver un entier bicolore divisible par 2n

A358. Les bicolores ***

Par convention un entier naturel est appelé «bicolore» s’il est écrit exclusivement avec deux chiffresaet bdistincts,apair>0 etbimpair.

Q1−Donner une suite strictement décroissante de dix entiers bicolores inférieurs à 10⁶et divisibles res- pectivement par les puissances successives de 2 : 2 à 2¹⁰.

Q2−Montrer que pour tout entiernpositif, on sait trouver un entier bicolore divisible par 2ⁿ.

Solution de Claude Felloneau

Q1−Le programme ci-après page 2 donne la suite (545454, 545444, 544544, 525552, 494944, 447744, 444544, 366336, 223232, 111616) qui est une solution.

Q2−Sibnest un entier bicolore qui s’écrit avec les chiffresa(pair>0) etb(impair), est divisible par 2ⁿet tel que 10ⁿ⁻¹6^bn<10ⁿ. On posebn+1=xn.10ⁿ+bnavec

xn=

½ a si 2ⁿ⁺¹diviseb_n b sinon

Si 2ⁿ⁺¹ diviseb_n, on ab_n≡0 £ 2ⁿ⁺¹¤

. De plus, 10ⁿ ≡2ⁿ £ 2ⁿ⁺¹¤

et a pair doncx_n10ⁿ ≡0 £ 2ⁿ⁺¹¤

. Ainsi b_n+1≡0£

2ⁿ⁺¹¤ .

Si 2ⁿ⁺¹ne divise pasbn, commebn≡0 [2ⁿ] on abn≡2ⁿ £ 2ⁿ⁺¹¤

.bétant impair, on axn.10ⁿ≡2ⁿ £ 2ⁿ⁺¹¤

, doncx_n.10ⁿ+b_n≡0£

2ⁿ⁺¹¤ .

Dans les deux cas,b_n+1s’écrit avec les chiffresaetb, est divisible par 2ⁿ⁺¹et tel que 10ⁿ6^bn<10ⁿ⁺¹. À partir deb₂=16 qui est divisible par 2², on peut construire la suite (bn)n>²d’entiers bicolores telle que pour toutn>^2,bnest divisible par 2ⁿ.

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Programme en Python

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