A5913 – Toujours possible [*** à la main]
Démontrer qu’il est toujours possible de représenter :
Q₁ un entier positif de la forme 3k – 2 avec k entier ≥ 1 comme la somme d’un carré parfait et de deux cubes parfaits.
Q₂un entier positif quelconque comme la somme d’un carré parfait et de trois cubes parfaits.
Q₃ un entier quelconque comme la somme de cinq cubes parfaits pas nécessairement distincts.
Q₄ un entier positif ou nul sous la forme a² + b² – c² avec a,b,c entiers positifs distincts , 0 < a < b < c.
Q₅ un entier quelconque sous la forme 1² 2² …. n² avec un certain entier n et le choix convenable du signe « + » ou « – » précédant chacun des termes k² avec k = 1,2...,n
Solution proposée par Bernard Vignes
Q₁ On utilise l’identité : 3k – 2 = k³ ‒ (k + 3)³ + (3k + 5)² = k³ + (‒ (k + 3))³ + (3k + 5)²
Q₂ L’ajout de 0 = 0³ aux deux membres de l’identité précédente donne l’identité souhaitée pour les entiers de la forme 3k – 2 .L’ajout de + 1 = 1³ donne les entiers de la forme 3k – 1 et de ‒1 = (‒1)³ les entiers de la forme 3k‒ 3 c’est à dire les multiples de 3.
Q₃ On opère comme précédemment avec l’identité 6k = (k + 1)³ + (k – 1)³ ‒ k³ ‒ k³ dans laquelle on retient k = (n³ ‒ n)/6 = n(n – 1)(n + 1)/6 qui est bien un entier.
D’où n =n³ + ((n³ ‒ n)/6)³ + ((n³ ‒ n)/6)³ + ((n ‒ n³)/6 + 1 )³ + ((n ‒ n³)/6 ‒ 1)³ .
Q₄
Soit k un entier positif ou nul.
Si k est pair soit k = 2n, on écrit 2n = (3n)² + (4n- 1)² - (5n – 1)² avec 3n < 4n – 1 < 5n – 1 pour n > 1 Si n = 0, alors on écrit 0 = 3² + 4² ‒ 5² et si n = 1, 2 = 5² + 11² ‒ 12².
Si k est impair soit k = 2n + 3,on écrit 2n + 3 = (3n + 2)² + (4n)² - (5n + 1)² avec 3n + 2 < 4n > 5n + 1 pour n
>2
Si n = ‒ 1, alors 1 = 4² + 7² ‒ 8², si n = 0, 3 = 4² + 6² ‒ 7², si n = 1, 5 = 4² + 5² ‒ 6² et si n = 2,7 = 6² + 14² ‒ 15².
Q₅
On part des quatre identités suivantes : 1 = 1², 2 = ‒1² ‒ 2² ‒ 3² + 4², 3 = ‒1² + 2² et 4 = ‒1² ‒2² + 3² puis on raisonne par récurrence à partir de l’identité (I) k² ‒ (k + 1)² ‒ (k + 2)² + (k + 3)² = 4.
On suppose que l’expression 1² 2² …. k² permet de d’obtenir tous les entiers consécutifs de 1 à n, alors d’après (I) on sait obtenir n + 4 et les quatre identités qui donnent 1,2,3 et 4 garantissent l’obtention de 5,6,7,8 etc….
Pour obtenir un entier négatif, il suffit d’inverser les signes qui permettent d’obtenir n
