A387. Les entiers très sympathiques
Un entier n est dit « sympathique » s’il s’exprime de deux manières au moins sous la forme de la somme d’une puissance entière positive ou nulle de 2 et d’une puissance entière positive ou nulle de 3.
Q1 Démontrer qu’on sait trouver au moins cinq entiers sympathiques.**
Q2 Existe-t-il six entiers sympathiques ou plus ?*****
Solution de Paul Voyer
Q1
Un tel nombre s'écrit sous la forme 2x+3y = 2a+3b On a alors 2x-2a = 3b-3y, soit 2a(2x-a-1) = 3y(3b-y-1) 2a(2z-1) = 3y(3t-1).
D'où les 2 conditions : (car z = x-a et t = b-y sont ≠ 0).
2z-1 = 3y et 3t-1 = 2a 5 solutions :
2²+30 = 21+31 = 5 = 4+1 = 2+3 2³+31 = 21+3² = 11 = 8+3 = 2+9 2³+3² = 24+30 = 17 = 8+9 = 16+1 2³+3³ = 25+31 = 35 = 8+27 = 32+3 28+31 = 24+35 = 259 = 256+3 = 16+243
Q2
http://oeis.org/A085634 indique
No more terms < 10^4000. - David Wasserman, Feb 07 2005