A305 - Les nombres jumeaux
Solution
Un nombre jumeau peut être factorisé sous la forme N.(10n+1) avec N < 10n. Dès lors, un nombre jumeau est un carré parfait si la factorisation du terme 10n+ 1 donne au moins un diviseur qui est un carré parfait.
Selon les valeurs de n, la factorisation de 10n+ 1 donne les résultats suivants : n 10n+1 factorisé
-- --- 1 premier 2 premier 3 (7)(11)(13) 4 (73)(137) 5 (11)(9091) 6 (101)(9901) 7 (11)(909091) 8 (17)(588 2353)
9 (7)(11)(13)(19)(52579) 10 (101)(3541)(27961) 11 (11^2)(23)(4093)(8779)
Le plus petit nombre jumeau qui est également un carré parfait a donc 22 chiffres.
N est de la forme 23*4093*8779*p2 = 826446281*p2 et comporte 11 chiffres exactement.
Il y a 7 solutions possibles qui correspondent à p = 4,5,6,7,8,9 et 10.
Comme les entiers de la forme 1022k + 11 + 1 (k=0,1,2,3,...) sont divisibles par 112, il y a une infinité de nombres jumeaux qui sont des carrés parfaits.
Il y a des valeurs de n pour lesquelles 10n + 1 est divisible par un carré autre que 112. Par exemple 1021 + 1 est un multiple de 72. D'où ce nombre jumeau à 42 chiffres:
183673469387755102041183673469387755102041=4285714285714285714292
