Le carré parfait 36 = 6

A369. Des nombres miroirs

Problème proposé par Pierre Leteurtre

Le carré parfait 36 = 6

peut s'écrire de cinq façons comme la différence de deux nombres de deux chiffres qui sont miroirs l'un de l'autre : 36 = 51 − 15 = 62 − 26 = 73 − 37 = 84 − 48 = 95 − 59 Démontrer qu'il existe en base 10 une infinité de carrés parfaits N

qui peuvent s'écrire de cinq façons comme la différence de deux nombres miroirs ayant le même nombre de chiffres que N

.

N 33 333 3333 33333 333333 3333333

N² 1089 110889 11108889 1111088889 111110888889 11111108888889 A 2211 222111 22221111 2222211111 222222111111 22222221111111 B 1122 111222 11112222 1111122222 111111222222 11111112222222 A – B 1089 110889 11108889 1111088889 111110888889 11111108888889 Pour chacun de ces nombres N, le nombre de façons différentes d'écrire leur carré N² comme la différence de deux nombres miroirs est au moins égal à 5 , (et même au moins égal à 8)

2211–1122 = 2321–1232 = 2431–1342 = 2541–1452 = 2651–1562 = 2761–1672 = 2871–1782 = 2981–1892

Si le nombre A s'écrit avec n chiffres 2 suivi du chiffre x, suivi du chiffre (x – 1), suivi de n chiffres 1, et si B = miroir de A, on a, pour 2 < x < 9, A – B = N² où N est le nombre formé de n+1 chiffres égaux à 3.

A, B, et N² ont tous le même nombre de chiffres : 2n+2.

Donc il existe en base 10 une infinité de carrés parfaits N² qui peuvent s'écrire d' au moins huit façons comme la différence de deux nombres miroirs ayant le même nombre de chiffres que N².