Enoncé A4901 (Diophante) Jeux de bascule
Q1 Zig écrit une suite croissante S1 de n entiers consécutifs strictement positifs qui contient exactement un carré parfait. Il met le signe “+” de- vant ce carré et tous les entiers qui le précédent et le signe “-” devant tous les autres entiers. Il constate que la somme de tous les termes est nulle. Déterminer la plus petite valeur possible de n ainsi que les termes correspondants de la suite S1.
Q2 Il écrit ensuite sur une même ligne la suite croissante S2 des n en- tiers naturels consécutifs en partant de l’entier 1 auquel il affecte le signe “+” puis il place devant chaque entier le même signe (“+” ou “-
”) que celui de l’entier précédent avec la seule particularité de changer de signe après l’écriture d’un carré parfait. Les premiers termes de S2
sont alors : +1,−2,−3,−4,+5,+6,+7,+8,+9,−10,−11, etc. Il calcule en même temps sur une deuxième ligne le cumulC(n) des entiers relatifs qu’il a écrits :+1,−1,−4,−8,−3,+3,+10, etc.
a)nest un carré parfait,n=p2. Déterminer la valeur deC(n) en fonction de p. Application numérique :p= 2018 puisp= 2019.
b) Zig arrête ses calculs quand il observe que le cumul C(n) est égal à +76971 pour la première fois. Déterminer la valeur de n.
c) Pour les plus courageux disposant d’un automate : déterminer les valeurs de n, de p et de q (q > p >0) telles que Zig observe pour la première fois C(n) =C(n+p) =C(n+q)>0.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Soit r2 le carré parfait figurant dansS1 qui s’écrit
r2−a, r2−a+ 1, . . . , r2,−r2−1, . . . ,−r2−b, avecn=a+b+ 1 termes dont la somme est
(a+ 1)(r2−a+r2)/2 +b(−r2−1−r2−b)/2 =
=r2(a−b+ 1)−a(a+ 1)/2−b(b+ 1)/2.
Posonsa−b+ 1 =c, la somme s’écritr2c−b2−bc−c(c−1)/2 = 0.
On en tire 2b2/c= 2r2−2b−c+ 1 =f. Substituant 2b=cf, bf = 2r2−cf −c+ 1, puis 4r2 =c(f+ 1)2+c−2 (∗).
Ac donné, c’est une équation du genre Fermat ; pour qu’elle ait des solu- tions, c ne doit pas être carré parfait, et−2 doit être résidu quadratique moduloc.
r2 étant le seul carré deS1,a≤2r−2,b≤2r. D’où cf ≤4r, cf+ 2c≤4r−2.
Chaque solution (r, f) de (∗) dans ces limites fournit une suite à n = c(f+ 1) termes.
La première valeur convenable de c est 3, donnant 2r =Tk(2) en notant Tk le polynôme de Tchebychev de degrék. Il fautkimpair pour que Tk(2) soit pair, et k > 1 pour que f > 0. Ainsi avec k = 3, r = 13, f = 14, b= 21, a= 23.
Cela donnen= 45 et S1 est la suite
146,147, . . . ,168,169 = 132,−170, . . . ,−190.
La solution suivante avecc= 3 donner= 181, f = 208, n= 627.
La valeur suivante de c est c = 11 et donne comme première solution r= 15, f = 8,n= 99.
Question 2a)
Les entiers de (m−1)2+ 1 à m2 ont pour somme (2m−1)(m2−m+ 1) =m3+ (m−1)3,
à affecter du signe (−1)m+1. AinsiC(p2) =
p
X
m=1
m3(−1)m+1−(m−1)3(−1)m=p3(−1)p+1 par sommation “télescopique”.
Application numérique :
C(20182) =−20183 =−8217949832, C(20192) = 20193= 8230172859.
Question 2b)
Le cumul 76971 = C(n) appartient à une séquence d’entiers se terminant par un carré p2.
Sipest pair, les entiers sont négatifs,C(n) est décroissant etC((p−1)2) = (p−1)3≥76971,p−1≥ √3
76971 = 42,5. . .. On a alorsp≥44.
Sipest impair, les entiers sont positifs,C(n) est croissant etC(p2) =p3 ≥ 76971, p≥√3
76971 = 42,5. . .. On a alors p≥43,n >422.
Le premier intervalle où cherchernest ainsi 422 = 1764< n <442 = 1936.
C(n) y a pour maximumC(432) =C(1849) = 433= 79507 et la différence 79507−76971 = 2536 ne peut pas être obtenue par un cumul 1849,1849 + 1848, . . ., non plus que par un cumul 1850,1850 + 1851, . . ..
Dans l’intervalle suivant 1936 < n < 452 = 2025, C(452) = 91125. La différence 91125−76971 = 14154 = 7×2022 ; les 7 termes de 2025 à 2019 ont précisément pour moyenne 2022, ce qui montre que 76971 =C(2018).
n= 2018 est donc le premier entier pour lequel C(n) = 76971.
Question 2c)
Pour obtenir trois valeurs égales, je fais un balayage par programme : un tableau cum[•] enregistre le nombre de fois où une valeur est atteinte, quand nva de 1 à 999999.
La première valeur de C(n) atteinte 3 fois est 57798 =C(1520) =C(10511) =C(16515).
Quatre autres valeurs sont atteintes trois fois (au moins) dans ce balayage : 887853, 1726003, 5408110, 32238172.
Remarque. Par la question 2a, on peut compléter la question 1 en utilisant 144 = 122 et 123 = 1728 :
C(145) =C(190) =−1728 + 145 =−1583.
Listing du programme
int i,b,c,n,s ; int cmax=44000000 ; int[] cum = new int[cmax] ;
b=1 ; c=0 ; n=0 ; s=1 ;
for(i=0;i<cmax;i++) cum[i]=0 ; while(n<1000000)
{ n++ ; c+=(n*s) ; if(n==b*b)
{ b++ ; s=-s ; }
if((c>0)&&(c<cmax)) cum[c]++ ;
if(c==57798) System.out.println(n) ; }
for(i=1;i<cmax;i++)
{ if(cum[i]>2) System.out.println(i) ; }
