A4901 − Jeux de bascule
Q₁ Zig écrit une suite croissante S₁ de n entiers consécutifs strictement positifs qui contient exactement un carré parfait. Il met le signe "+" devant ce carré et tous les entiers qui le précédent et le signe "−" devant tous les autres entiers. Il constate que la somme de tous les termes est nulle. Déterminer la plus petite valeur possible de n ainsi que les termes correspondants de la suite S₁.
Q₂ Il écrit ensuite sur une même ligne la suite croissante S₂ des n entiers naturels consécutifs en partant de l'entier 1 auquel il affecte le signe "+" puis il place devant chaque entier le même signe ("+ ou "−") que celui de l'entier précédent avec la seule particularité de changer de signe après l'écriture d'un carré parfait. Les premiers termes de S₂ sont alors : + 1, −2, − 3, − 4, + 5, + 6, + 7, + 8, + 9, − 10, − 11, etc... Il calcule en même temps sur une deuxième ligne le cumul C(n) des entiers relatifs qu'il a écrits : + 1, − 1, − 4, − 8, − 3, + 3 , + 10 etc...
a) n est un carré parfait, n = p². Déterminer la valeur de C(n) en fonction de p. Application numérique: p = 2018 puis p = 2019.
b) Zig arrête ses calculs quand il observe que le cumul C(n) est égal à + 76971 pour la première fois.
Déterminer la valeur de n.
c) Pour les plus courageux disposant d'un automate : déterminer les valeurs de n, de p et de q (q > p > 0) telles que Zig observe pour la première fois C(n) = C(n + p) = C(n + q) > 0.
Solution par Jacques Guitonneau
Q1 : Soit le nombre C le carré parfait du nombre a, et le seul carré parfait de la suite S recherchée. La
séquence de n nombres recherchée contiendra p nombres >C et n-p nombres <=C avec n-p >p. De plus, comme la suite ne contient qu’un carré parfait, n-p<=2a-1
La différence entre les nombres C+1 ; C+2,.. ;C+p et C ; C-1 ; C-2 ;..C-p+1 est égale à 1 +3 +5 ..+2p-1 qui vaut p². Il reste n-2p nombres <C à savoir, C-p, C-p-1 ;… ;C− n + 2p + 1 dont la somme vaut
(n−2p).(C−p) −(n−2p).(n−2p−1)/2.
Il s’agit donc de trouver C,n et p tels que (n − 2p).(C− p) – (n− 2p).(n−2p −1)/2 = p².
L’utilisation d’un tableur amène rapidement à la solution C=169 ; n=45 et p = 21, pour la suite suivante : 146,147,148,149,150…..168,169,−170,−171,−172,…,−188,−189,−190.
Q2 La somme des 2p−1nombres à partir de (p −1)² + 1 et p², bornes incluses, est égale à : (2p − 1).(p² + (p − 1)² + 1)/2 soit 2p*3 − 3p² + 3p − 1.
Il faut chercher les sommes pour les nombres impairs et les nombres pairs. Tous calculs faits on obtient Somme Pairs :∑k=1 à p [ 2.(2k)* 3 − 3.(2k)² + 3.2k − 1] = 4. p*4 + 4. P*3 + p² et
Somme Impairs :∑k=1 à p [ 2.(2k-1)* 3− 3.(2k−1)² + 3.(2k − 1) − 1]=4. p*4 − 4. p*3 + p² Jusqu’à un carré d’un nombre pair 2p on a donc la somme recherchée égale à − 8.p*3 . Jusqu’à un carré d’un nombre impair 2p + 1, on obtient (2p + 1)*3, soit au total
C(p²)= (−1)*(p+1).p*3
Pour p = 2018, on obtient C(2018²)= -65743598656 et pour p=2019, C(2019²)= 8230172859.
Q3 A partir des cumuls obtenus pour les nombres carrés parfaits, on constate que les premiers candidats doivent être recherchés sur les nombres inférieurs à 43² soit 1849. Sans résultat on cherche le suivant autour de 45² et on obtient immédiatement 2018.
Q4 L’utilisation du tableur conduit à la proposition de solution suivante : C(145)= C(190)= C(1054)= -1583, soit le triplet (145, 45, 909).
