A4901. Jeux de bascule MB
Q1 Zig écrit une suite croissante S1 de n entiers consécutifs strictement positifs qui contient exactement un carré parfait. Il met le signe "+" devant ce carré et tous les entiers qui le précédent et le signe "−" devant tous les autres entiers. Il constate que la somme de tous les termes est nulle. Déterminer la plus petite valeur possible de n ainsi que les termes correspondants de la suite S1. Q2 Il écrit ensuite sur une même ligne la suite croissante S2 des n entiers naturels consécutifs en partant de l'entier 1 auquel il affecte le signe "+" puis il place devant chaque entier le même signe ("+ ou "−") que celui de l'entier précédent avec la seule particularité de changer de signe après l'écriture d'un carré parfait. Les premiers termes de S2 sont alors : + 1, −2, − 3, − 4, + 5, + 6, + 7, + 8, + 9, − 10, − 11, etc....Il calcule en même temps sur une deuxième ligne le cumul C(n) des entiers relatifs qu'il a écrits : + 1, − 1, − 4, − 8, − 3, + 3 , + 10 etc...
a) n est un carré parfait, n = p2. Déterminer la valeur de C(n) en fonction de p. Application numérique: p = 2018 puis p = 2019.
b) Zig arrête ses calculs quand il observe que le cumul C(n) est égal à + 76971 pour la première fois. Déterminer la valeur de n.
c) Pour les plus courageux disposant d'un automate
Déterminer les valeurs de n, de p et de q (q > p > 0) telles que Zig observe pour la première fois C(n) = C(n + p) = C(n + q) > 0.
Q1)
Dans l'exemple ci dessus, la colonne de gauche représente la somme cumulée des entiers qui suivent 25, et la colonne de droite la somme cumulée de 25 avec les entiers qui le précèdent.
Gauche : n²+1, 2n²+3, …., pn²+p(p+1)/2 avec p=9
Droite : n², 2n² – 1, 3n² – 3,...., qn² – q(q–1)/2 avec q= 15
L'intervalle [25 –15 + 1, 25+9 ] = [11, 34] contient 4² en plus de 5² ce ne sont pas les nombres écrits par Zig Pour n donné on cherche p et q, les plus petits possible, positifs et tels que 2pn² + p(p+1) = 2qn² – q(q–1) soit p²+q² + (2n²+1)(p – q) = 0
Résultats :
n 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2n² + 1 51 73 99 129 163 201 243 289 339
p 9 15 / / / / / 56 21
q 15 40 / / / / / 184 24
n²– q+1 11 – 3 – 39 146
n²+p 34 51 200 190
La plus petite valeur de n, sachant que la suite S1 se compose de nombres strictement positifs, est n=13 On vérifie que le seul carré contenu dans S1 = [146, 190] est 169 car 12² < 146 et 14² > 190.
Q2)a) Les entiers de [n²+1, (n+1)²] sont tous affectés du même signe, leur somme est s(n) = (n²+n+1)(2n+1) s(n) = 2n3 +3n2+3n+1 = n3 +(n+1)3.
D'autre part, 1-2-3-4 = -8 = - 23 et 1-2-3-4+5+6+7+8+9 = 27 = +33 .
s(n) ajouté à – n3 donne +(n+1)3 et s(n) retranché à +n3 donne – (n+1)3 . Donc C(p²) = (-1)p+1 p3. C(2018²) = – 20183. C(2019²) = + 20193.
26 26 25 25
53 27 24 49
81 28 23 72
110 29 22 94
140 30 21 115
171 31 20 135
203 32 19 154
236 33 18 172
270 34 17 189
16 205 15 220 14 234 13 247 12 259 11 270
Q2)b) C(n) = 76971 423 = 74088 < C(n) < 79507 = 433. Il faut n > 42².
C(42²) = – 74088 et C(43²) = + 79507, C(42²+k) = – 74088 + (42²+1) +..+(42²+k) C(42²+k) = – 74088 + k.42²+k(k+1)/2
Résoudre 76971 = – 74088 + k.42²+k(k+1)/2
k²/2 + 1764,5k = 151059 ou k² + 3529k = 302118 n'a pas de solution en nombre entier.
C(43²+k)= 79507 – (43² +1)– (43² +2)– ...– (43² +k) = 79507 – k.43² – k(k+1)/2
Résoudre k²/2 + 1849,5k = 2536 ou k² + 3699k = 5072 n'a pas de solution en nombre entier.
C(44²+k) = – 85184+(44²+1)+...+(44²+k) = – 85184+ k.44² + k(k+1)/2
Résoudre 76971 = – 85184+ k.44² + k(k+1)/2 ou k² + 3873.k = 324310 La solution positive est k = 82.
C(44²+82) = 76971 La réponse pour Q2)b) est n = 44² + 82 = 2018.
Q2)c) Si X est l'un des nombres {10,153,190,631,1511,3194,6497,7941,12510,...}, l'équation C(n) = X, où l'inconnue est n, admet au moins 2 solutions.
Si X = 57798 l'équation C(n) = X admet au moins 3 solutions : n=1520, n=10511 et n=16515 n=1520, p=8991, q= 14995
Le programme a d'abord servi à trouver un nombre ayant trois antécédents.
Puis le programme modifié a trouvé quels étaient ces trois nombres n.