A4901. Jeux de bascule
Q1 Zig écrit une suite croissante S1 de n entiers consécutifs strictement positifs qui contient exactement un carré parfait. Il met le signe "+" devant ce carré et tous les entiers qui le précédent et le signe "−" devant tous les autres entiers. Il constate que la somme de tous les termes est nulle. Déterminer la plus petite valeur possible de n ainsi que les termes correspondants de la suite S1.
Q2 Il écrit ensuite sur une même ligne la suite croissante S2 des n entiers naturels consécutifs en partant de l'entier 1 auquel il affecte le signe "+" puis il place devant chaque entier le même signe ("+ ou "−") que celui de l'entier précédent avec la seule particularité de changer de signe après l'écriture d'un carré parfait. Les premiers termes de S2 sont alors : + 1, −2, − 3, − 4, + 5, 6, + 7, + 8, + 9, − 10, − 11, etc....Il calcule en même temps sur une deuxième ligne le cumul C(n) des entiers relatifs qu'il a écrits : + 1, − 1, − 4, − 8, − 3, + 3 , + 10 etc...
a) n est un carré parfait, n = p2. Déterminer la valeur de C(n) en fonction de p. Application numérique: p = 2018 puis p = 2019.
b) Zig arrête ses calculs quand il observe que le cumul C(n) est égal à + 76971 pour la première fois. Déterminer la valeur de n.
c) Pour les plus courageux disposant d'un automate
Déterminer les valeurs de n, de p et de q (q > p > 0) telles que Zig observe pour la première fois C(n) = C(n + p) = C(n + q) > 0
Solution proposée par Gaston Parrour
Q1 Une suite croissante S1 de n entiers consécutifs strictement positifs contient exactement un carré parfait. On met le signe "+" devant ce carré et tous les entiers qui le précédent et le signe "−" devant tous les autres entiers.
Lorsque la somme de tous les termes est nulle, déterminer la plus petite valeur possible de n et les termes correspondants de S1.
L'unique terme carré dans la suite S1 est noté m²
Entre le carré précédent (m-1)² et m² il y a 2(m-1) termes ,
→ le nombre total d'entiers inférieurs à m² mis en jeu est donc inférieur ou au plus égal à 2(m-1) (rem1) En considérant les termes de part et d'autre de m² :
S'il y a p nombres plus grands que m², on peut les mettre en regard de p entiers décroissants à partir de m² (m² non compris)
→ cela entraine pour leur somme la valeur -2(1+2+ … + p) = - p(p+1) A partir de cela, si la somme algébrique observée est nulle :
→ la somme des termes à signe positif (non utilisés) m² et m²-(p+1) m²-(p+2), … m²-(p+k) doit satisfaire à
m² + m²-(p+1) + m²-(p+2) + m²-(p+k) = p(p+1) (k+1)m² – kp - k(k+1)/2 = p(p+1)
(k+1)m² – (k+1)p -p² - k(k+1)/2 = 0
(k+1)m² – [p+(k+1)/2]² + (k+1)/2 [(k+1)/2 – k] = 0 soit [p+(k+1)/2]² - (k+1)m² = - (k+1)(k-1)/4 ou encore
[2p + (k+1)]² - 4(k+1)m² = - (k+1)(k-1) (1) où on doit vérifier (p+k) ≤ 2(m-1) (cf. rem1)
Dans le cas général, l'égalité (1) est une égalité de Pell avec un second membre négatif Suivant les valeurs successives de k, l'égalité (1) s'écrit :
k = 0 (1) → A² – B² = 1 (où A = 2p + 1 et B = 2m) ==> pas de solution k = 1 (1) → (p+1)² – 2m² = 0 ==> égalité impossible avec (p+1) entier k = 2 (1) → (2p+3)² – 12m² = - 3 (E)
→ Pour résoudre cette égalité (E), on doit connaitre
→ la solution fondamentale (x0,y0) de x² – Ky² = 1 avec ici K = 12 solution évidente (x0,y0) = (7,2)
→ au moins une solution particulière (x,y) de l'égalité (E) considérée solution évidente (x,y) = (3,1)
Avec cela on est assuré d'une infinité de solutions (xr,yr) données par (xr + yr√K) = (x0 + y0 √K)r (x + y √K)
La plus petite valeur de xr (= 2p+3) , fournira la plus petite valeur de p donc du nombre d'entiers n impliqués dans la somme algébrique considérée → n = p+k + 1 + p (k = 2 connu ici)
Avec r = 0 2p+3 = 3 → p = 0 , et m = 1 , et puisque k = 2 ==> (rem1) non vérifiée Avec r = 1 en séparant les termes entiers et les termes en √K on obtient
x1 = 2p+3= 45 et y1 = m = 13
donc p = 21 , et avec k = 2 et m = 13 → on vérifie p+k = 23 < 2(m-1) = 24 Cette solution acceptable est celle avec le plus petit nombre n de chiffres
==> n = p+k + 1 + p n = 45 entiers Les termes de cette suite S1 sont centrés autour de m² = (13)² = 169 Il y a 23 entiers inférieurs à 169 en ordre naturel de 146 à 168 il y a 21 entiers en ordre naturels de 170 à 190
Q2 Une suite croissante S2 des n entiers naturels consécutifs en partant de l'entier 1 affecté du signe "+" puis devant chaque entier le même signe ("+ ou "−") que celui de l'entier précédent avec la seule particularité de changer de signe après l'écriture d'un carré parfait. Les premiers termes de S2 sont alors : + 1, −2, − 3, − 4, + 5, 6, + 7, + 8, + 9, − 10, − 11, etc...
Le cumul C(n) des entiers relatifs écrits est donc : + 1, − 1, − 4, − 8, − 3, + 3 , + 10 etc...
a) Pour n = p², déterminer la valeur de C(n) en fonction de p. Application numérique: p = 2018 puis p = 2019.
Pour 1 = 1² C(1) = 1
4 = 2² C(n = 2²) = - 8 = - (2)3
En poursuivant le cumul amorcé dans l'énoncé on obtient pour 9 = 3² C(n = 3²) = 27 = (3)3
Montrons par récurrence d'une façon générale :
C(n = m²) = (-1)m-1 (m)3 Puisque la parité de m intervient, considérons par exemple m impair pour lequel on admet que C(n = m²) = m3
Après ce n = +m² avec m impair , vont s'ajouter des entiers négatifs jusqu'à n' = (m+1)² inclus Avec S(q) = q(q+1)/2 pour la somme des entiers naturels de 1 à q,
la somme des termes (m²+1) + (m² +2) + … + (m+1)² est S( (m+1)² ) - S (m²) = { (m+1)²[(m+1)²+1] - m²(m²+1) } / 2 = 2m3 + 3m² + 3m + 1 = m3 + (m+1)3
Comme il a été dit : avec m impair, cette somme se retranche de C(n = m²) = m3 pou obtenir le cumul en n' = (m+1)²
C(n' = (m+1)²) = C(m²) – m3 – (m+1)3 = - (m+1)3 = (-1)m (m+1)3 Dans le cas m pair, la démonstration est la même et aboutit de façon analogue à C(n'' = (m+1)²) = + (m+1)3 = (-1)m (m+1)3
Ici avec n = p² ==> C(n=p²) = (-1)p-1 p3 Application numérique
Avec p = 2018
C(2018²) = - 20183 p = 2019
C(2019²) = + 20193
b) Déterminer la valeur de n quand le cumul C(n) est égal à + 76971 pour la première fois.
Ce qui précède montre que la fonction C(n) atteint successivement, lorsque n= p² , des extremum positifs (resp. négatifs) avec p impair (resp. p pair)
Puisqu'ici C(n) est positif, → n se situe dans un voisinage de n = p² avec p impair
Pour déterminer les p impairs possibles, on peut noter que ( 76971)1/3 = 42, 573… donc p = 43, 45, ...
Si p = 43 ,l'extremum positif est donc égal à + (43)3 = 79507 (43)3 > 76971 le nombre n0 = p² correspondant à ce cumul maximum local est
n0 = 43² = 1849
Se pose alors la question : le nombre cherché n lié à C(n) = + 76971 est-il inférieur ou supérieur à n0 ? Si n < 1849, puisque la suite des entiers est la suite naturelle qui conduit à 1849,
il faut déterminer un k entier tel que 79507 – 43² - (43²-1) – (43²-2) - … - (43²-k) = 76971 Si n > 1849
il faut déterminer un k' entier tel que 79507 – (43²+1) – (43²+2) - … - (43²+k') = 76 971 ==> On vérifie directement qu'alors aucun entier k ou k' n'existe
Avec p = 45 ,l'extremum positif est égal à + (45)3 = 91125 (45)3 > 76971 Le nombre n1 = p² correspondant à ce cumul maximum local est
n1 = (45)² = 2025 Comme précédemment :
Si n < 2025
il faut déterminer un entier k tel que 91125 – 45² - (45²-1) – (45²-2) - … - (45²-k) = 76971 ==> l'égalité précédente est satisfaite avec k = 6 , il y a eu 7 soustractions donc
n = n0-7 = 2018 et C(n=2018) = 76971
N.B. Il n'y a pas de solution pour le cas n dans le voisinage de 2025 avec n > 2025
Avec ce qui précède, il est clair qu'on doit obtenir d'autres solutions n donnant le même cumul C(n) = 76971 pour des valeurs impaires de p supérieures à cette première valeur p = 45.
